1.4 Operaciones Básicas

En esta sección se establecen algoritmos para las operaciones fundamentales en las bases 2, 8 y 16.

Operaciones en Sistema Binario

Como en el sistema binario sólo hay 2 símbolos (bits) la adición y la multiplicación resultan muy simples:

         Adición                                                                                         Multiplicación

+01
001
111
*01
000
101


Para sumar dos números en base 2 utilizamos el mismo procedimiento que en base 10, puesto que el algoritmo se establece por se un sistema posicional.

Suma Binaria:


     1 1 1                                              1   1
     10011 2                                    11011 2
         1110 2                                      1001 2
--------------                                 ------------
  101001 2                                  10100 2


Producto Binario:


                      1101 2                                                        10101 2
                      x 110 2                                                          x 101 2
             ---------------                                                ---------------
                    0000 2                                                      10 101 2
                  1 101 2                                                      00000 2
              1 1 01 2                                                       101 01 2
             ---------------                                                ---------------
          1 001 1 10 2                                               1 10 1001 2

Nota: Para la operación de resta veremos un algoritmo en base a complementos y sumas donde no intervienen comparaciones por lo que resulta más simple en computación.


Operaciones en Sistema Octal

Para el sistema octal utilizamos los símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7} y por la característica de los sistemas posicionales con conocer las operaciones de adición y multiplicación para estos valores se puede calcular el de los demás con un algoritmo similar al de base 10 o de base 2.


Adición

+ 01234567
001234567
1123456710
22345671011
334567101112
4456710111213
55671011121314
667101112131415
7710111213141516


Ejemplos.


     1       1                                        1       1  1
     17406 8                                4613.524 8
     63054 8                                   261.37     8
---------------                                ----------------
   102560 8                               5075.114  8

Nota: En base diez utilizamos el punto decimal para separar las unidades y los dígitos después del punto represntan décimas, centésimas, milésimas, etc. ¿Qué valores representan los símbolos después del punto en base 8?


Multiplicación

* 01234567
000000000
101234567
2024610121416
30361114172225
404101420243034
505121724313643
606142230364452
707162534435261


Ejemplos.


              14
              25
          427 8
        * 56 8
       ----------
        3212
     2563
    ------------
     31042

Ejercicio MCI 1


Operaciones en Sistema Hexadecimal

Para el sistema hexadecimal utilizamos los símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} y por la característica de los sistemas posicionales con conocer las operaciones de adición y multiplicación para estos valores se puede calcular el de los demás con un algoritmo similar al de base 10 , base 8 o de base 2.


Adición

+ 0123456789ABCDEF
00123456789ABCDEF
1123456789ABCDEF10
223456789ABCDEF1011
33456789ABCDEF101112
4456789ABCDEF10111213
556789ABCDEF1011121314
66789ABCDEF101112131415
7789ABCDEF10111213141516
889ABCDEF1011121314151617
99ABCDEF101112131415161718
AABCDEF10111213141516171819
BBCDEF101112131415161718191A
CCDEF101112131415161718191A1B
DDEF101112131415161718191A1B1C
EEF101112131415161718191A1B1C1D
FF101112131415161718191A1B1C1D1E


Ejemplos.


     1       1                                        1       1  1
     9A30C 16                                7DB11.4C2 16
     62F4B.21E 16                                       16
---------------                                ----------------
   102560 8                               5075.114  8

Nota: En base diez utilizamos el punto decimal para separar las unidades y los dígitos después del punto represntan décimas, centésimas, milésimas, etc. ¿Qué valores representan los símbolos después del punto en base 8?


Multiplicación FALTA EDITAR LA TABLA DEL 5 EN ADELANTE

* 0123456789ABCDEF
00000000000000000
10123456789ABCDEF
202468ACE10121416181A1C1E
30369CF1215181B1E2124272A2D
4048C1014181C2024282C3034383C
5056789ABCDEF1011121314
60C12181E242A         
77E              
8081018202830384048505860687078
909121B24           
A0A141E28           
B0B              
C0C              
D0D          19   
E0E       |     
F0F              


Ejemplos. FALTA EDITAR


     1       1                                        1       1  1
     427 8                                125.46 8
     * 56 8

FALTAN 2 RENGLONES                                   2.5    8
---------------                                ----------------
   8                               5075.114  8

Ejercicio MCI 1


Resta

Operaciones basicas.

El sistema numérico decimal

El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o simbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fué desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es:

primero 9 * (100) = 9 --------- primero 1*(10–1) = 0.1 segundo 8 * (101) = 80 -------- segundo 2*(10–2) = 0.02 tercero 4 * (102) = 400 -------- tercero 5*(10–3) = 0.005 cuarto 3 * (103) = 3000 Por lo tanto el valor del número es: donde: m = posición del dígito que se localiza a la derecha k = posición del dígito que se localiza a la izquierda b = valor de la base n = posición del dígito a evaluar a = dígito a evaluar para el ejemplo: = 5*(10–3) + 2*(10–2) + 1*(10–1) + 9*(100) + 8*(101) + 4*(102) + 3*(103) = 0.005 + 0.02 + 0.1 + 9 + 80 + 400 + 3000 = 3489.125 Notación Posicional del Sistema (10–6) = 0.000001 (10–5) = 0.00001 (10–4) = 0.0001 (10–3) = 0.001 (10–2) = 0.01 (10–1) = 0.1 (100) = 1 (101) = 10 (102) = 100 (103) = 1000 (104) = 10000 (105) = 100000 (106) = 10000000

Sistema binario

Suma binaria

La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: 1º Si el número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. 2º Si el número de unos (en sentido vertical) es impar el resultado es 1. 3º Acarreo tantos unos como parejas (completas) de números 1 haya. Por ejemplo: Hay que sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111 (que en decimal es 15). 1010 1111 11001 ( que en decimal son 25). + 0 1 0 0 1 1 1 1

  • 0 1

0 0 0 1 0 1

Resta binaria Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son: • 0 - 0 = 0 • 1 – 1 = 0 • 1 – 0 = 1 • 0 – 1 = 1 ( con acarreo negativo de 1) Al restarse números algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente columna de la izquierda. En binario solo se produce este acarreo cuando se intenta restar 1 de 0 (4ª regla). Ejemplo sobre esta situación, restar 011 de 101: 101 – 011 = 010 Detalle de la operación:

101 

                                 -

011

010 1. en la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0 2. en la columna central se produce un acarreo negativo de 1 a la columna siguiente (4ª regla) que da lugar a 10 en esta columna, luego 10 −1 = 1 con acarreo de 1 a la siguiente columna 3. en la columna izquierda, se resta 1 del acarreo producido en la anterior columna y da como resultado 0, luego se resta 0 – 0 = 0 Multiplicación binaria La multiplicación binaria es tan sencilla como la decimal, y es que funcionan de la misma manera. Aquí tienen un ejemplo de multiplicación binaria. Supongamos que multipliquemos 10110 por 1001: 10110 1001

10110 00000 00000 10110

11000110 Vamos multiplicando por cada dígito de 1001 el conjunto 10110 y luego procedemos a hacer la suma. Hay otro tipo de procedimientos para realizar esta multiplicacion sin signo y es el llamado “Multiplicación por el metodo de Suma-Desplazamiento”. Sistema Octal El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos: 2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8–1) + 2*(8–2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0. CONVERSIÓN DE OCTAL A BINARIO: para convertir un numero octal a binario se sustituye cada dígito octal en por sus correspondientes tres dígitos binarios según la siguiente tabla. Dígito Octal Dígito Binario 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 Ej.: Convertir el número octal 1274 en binario.

1 2 7 4 001 010 111 100 Por lo tanto el número octal en binario es igual a: 001010111100 SUMA OCTAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del sistema. De esta misma forma cada unidad que se acarree equivale a ocho unidades de la columna anterior. Ejemplo: Dado los números binarios: A. 40740647 y B. 25675300, Obtener A+B

1 1 0 0 1 1 1 0 1 MULTIPLICACIÓN OCTAL: Ej: Multiplicar A. 672348 y B. 168 

		6	7	2	3	4
				x	1	6
	5	1	3	6	5	0

+ 6 7 2 3 4 1 4 0 6 2 1 0

Sistema Hexadecimal Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a: 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160 lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = 466010 Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla: Binario Hexadecimal

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Esta tabla contiene toda la información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y visceversa. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario: 0 A B C D (Hexadecimal) 0000 1010 1011 1100 1101 (Binario) Por comodidad, todos los valores numéricos los empezaremos con un dígito decimal; los valores hexadecimales terminan con la letra h y los valores binarios terminan con la letra b. La conversión de formato binario a hexadecimal es casi igual de fácil, en primer lugar necesitamos asegurar que la cantidad de dígitos en el valor binario es múltiplo de 4, en caso contrario agregaremos ceros a la izquierda del valor, por ejemplo el número binario 1011001010, la primera etapa es agregarle dos ceros a la izquierda para que contenga doce ceros: 001011001010. La siguiente etapa es separar el valor binario en grupos de cuatro bits, así: 0010 1100 1010. Finalmente buscamos en la tabla de arriba los correspondientes valores hexadecimales dando como resultado, 2CA, y siguiendo la convención establecida: 02CAh. SUMA HEXADECIMAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del sistema. Cada unidad que se acarree equivale a dieciséis unidades de la columna anterior. Ejemplo: Dado los números binarios:

MULTIPLICACIÓN HEXADECIMAL: Ej: Multiplicar A. 67D3416 y B. 1216 

		6	7	D	3	4
				x	1	2
		C	F	A	6	8

+ 6 7 D 3 4 

	7	4	C	D	A	8
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