MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En los problemas de optimizaci¨®n, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados as¨ª en honor a Joseph Louis Lagrange, son un m¨¦todo para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y est¨¢ sujeta a ciertas restricciones. Este m¨¦todo reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este m¨¦todo introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricci¨®n y forma una combinaci¨®n lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostraci¨®n involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna funci¨®n impl¨ªcita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes
Introducci¨®n [editar]Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la funci¨®n, f(x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a:
g(x,y) = c,
donde c es una constante. Podemos visualizar las l¨ªneas de curvas de nivel de f dadas por
f(x,y) = dn
para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g ser¨¢n distintas, cruzando el contorno donde g = c por lo general intersectar¨¢ y cruzar¨¢ muchos contornos de f. En general, movi¨¦ndose a trav¨¦s de la l¨ªnea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexi¨®n restringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatol¨®gicos, con sus curvas de nivel de presi¨®n y temperatura (is¨®baras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrir¨¢ donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.
Geom¨¦tricamente traducimos la condici¨®n de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el m¨¢ximo. Introduciendo un nuevo escalar, ¦Ë, resolvemos
[f(x, y) - ¦Ë (g(x, y) − c)] = 0
para ¦Ë ¡Ù 0.
Una vez determinados los valores de ¦Ë, volvemos al n¨
mero original de variables y as¨ª continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuaci¨®n no restringida.
F(x,y) = f(x,y) − ¦Ë(g(x,y) − c)
de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y) para todo (x, y) satisfaciendo la condici¨®n porque g(x,y) − c es igual a cero en la restricci¨®n, pero los ceros de F(x, y) est¨¢n todos en g(x,y) = c.
El m¨¦todo de los multiplicadores de Lagrange [editar]Sea f (x) una funci¨®n definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ¡Ê Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,…,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Los multiplicadores desconocidos ¦Ëk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El m¨¦todo de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.