MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En los problemas de optimizaci車n, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados as赤 en honor a Joseph Louis Lagrange, son un m谷todo para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y est芍 sujeta a ciertas restricciones. Este m谷todo reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este m谷todo introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricci車n y forma una combinaci車n lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostraci車n involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna funci車n impl赤cita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una funci車n sea igual a cero.
Introducci車n [editar]Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la funci車n, f(x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a:
g(x,y) = c, donde c es una constante. Podemos visualizar las l赤neas de curvas de nivel de f dadas por
f(x,y) = dn para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g ser芍n distintas, cruzando el contorno donde g = c por lo general intersectar芍 y cruzar芍 muchos contornos de f. En general, movi谷ndose a trav谷s de la l赤nea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexi車n restringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatol車gicos, con sus curvas de nivel de presi車n y temperatura (is車baras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrir芍 donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.
Geom谷tricamente traducimos la condici車n de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el m芍ximo. Introduciendo un nuevo escalar, 竹, resolvemos
[f(x, y) - 竹 (g(x, y) − c)] = 0 para 竹 ≧ 0.
Una vez determinados los valores de 竹, volvemos al n迆mero original de variables y as赤 continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuaci車n no restringida.
F(x,y) = f(x,y) − 竹(g(x,y) − c) de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y) para todo (x, y) satisfaciendo la condici車n porque g(x,y) − c es igual a cero en la restricci車n, pero los ceros de F(x, y) est芍n todos en g(x,y) = c.
El m谷todo de los multiplicadores de Lagrange [editar]Sea f (x) una funci車n definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ﹋ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,…,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Los multiplicadores desconocidos 竹k se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El m谷todo de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
UMMMMMMMMMMMMMMMMMMM PARA MAS FACIL http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange
