Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del m車vil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el m車vil. Las magnitudes que describen un movimiento curvil赤neo son:
Vector posici車n r en un instante t.
Como la posici車n del m車vil cambia con el tiempo. En el instante t, el m車vil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posici車n es r y en el instante t’ se encuentra en el punto P’, su posici車n viene dada por el vector r’.
Diremos que el m車vil se ha desplazado Dr=r＊-r en el intervalo de tiempo Dt=t’-t. Dicho vector tiene la direcci車n de la secante que une los puntos P y P’.
Vector velocidad
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.
El vector velocidad media tiene la misma direcci車n que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.
El vector velocidad en un instante, es el l赤mite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la direcci車n del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2….., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.
En el instante t, el m車vil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya direcci車n es tangente a la trayectoria en dicho punto.
Vector aceleraci車n
En el instante t el m車vil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya direcci車n es tangente a la trayectoria en dicho punto.
En el instante t’ el m車vil se encuentra en el punto P’ y tiene una velocidad v’.
El m車vil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en m車dulo como en direcci車n, en la cantidad dada por el vector diferencia Dv=v＊-v.
Se define la aceleraci車n media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t’-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleraci車n a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvil赤neo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectil赤neo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectil赤neo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.
Por tanto, podemos considerar un movimiento curvil赤neo como la composici車n de movimientos rectil赤neos a lo largo de los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Un autom車vil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en funci車n del tiempo est芍n dadas por las expresiones: x=2t3–3t2, y=t2–2t+1 m. Calcular:
Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
vx=6t2–6t m/s
vy=2t-2 m/s
Las componentes de la aceleraci車n en cualquier instante.
ax=12t m/s2
ay=2 m/s2
Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en funci車n del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el m車vil se encontraba en la posici車n x0=1, y0=2 m. Calcular:
Las componentes de la aceleraci車n en cualquier instante
Las coordenadas x e y, del m車vil, en funci車n del tiempo.
Dada la velocidad vx=4t3+4t del m車vil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral
x=t4+2t2+1 m
Dada la velocidad vy=4t del m車vil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral
y=2t2+2 m
Ejemplo 3:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota adem芍s es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleraci車n de 2 m/s2. Calcular:
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
La altura m芍xima
Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.
Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleraci車n ay=−10.
Se escriben las ecuaciones del movimiento
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X
ax=2
vx=2t
x=2t2/2
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de ca赤da de los cuerpos)
ay=−10
vy=20+(−10)t
y=20t+(−10)t2/2
El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=−50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.
y=−50 m
t=1.74 s
x=3.03 m
La altura m芍xima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
vy=0 m/s
t=2 s
y=20 m
La altura desde el suelo es 20+50=70 m.
El m車vil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuaci車n de segundo grado tiene dos ra赤ces
10=20t+(−10)t2/2
t1=0.59 s y t2=3.41 s.
Componentes tangencial y normal de la aceleraci車n
Las componentes rectangulares de la aceleraci車n no tienen significado f赤sico, pero si lo tienen las componentes de la aceleraci車n en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleraci車n en un determinado instante es un simple problema de geometr赤a, tal como se ve en la figura.
Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleraci車n en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleraci車n en dicho sistema de referencia.
Se dibujan los nuevos ejes, la direcci車n tangencial es la misma que la direcci車n de la velocidad, la direcci車n normal es perpendicular a la direcci車n tangencial.
Con la regla y el cartab車n se proyecta el vector aceleraci車n sobre la direcci車n tangencial y sobre la direcci車n normal.
Se determina el 芍ngulo q entre el vector velocidad y el vector aceleraci車n, y se calcula el valor num谷rico de dichas componentes: at=a cosq y an=a senq
Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una part赤cula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2–5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleraci車n en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleraci車n y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleraci車n
vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2
vy=6t2–5 m/s, ay=12t m/s2
Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son
vx =4 m/s, ax=3 m/s2
vy=19 m/s, ay=24 m/s2
Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleraci車n
Calculamos el 芍ngulo q que forman el vector velocidad y el vector aceleraci車n Por el producto escalar: v﹞a=v﹞a﹞cosq
Calculando el 芍ngulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos 芍ngulos Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleraci車n
at=a﹞cosq =24.1 m/s2
an=a﹞senq=2.0 m/s2
Podemos hallar la aceleraci車n tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleraci車n a y el vector velocidad v.
v﹞a=va﹞cos牟=v﹞at
La aceleraci車n normal, se obtiene a partir del m車dulo de la aceleraci車n a y de la aceleraci車n tangencial at
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la direcci車n del vector velocidad v en el instante t, la direcci車n del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posici車n del m車vil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura 老.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la direcci車n del vector velocidad cambia un 芍ngulo d牟. que es el 芍ngulo entre las tangentes o entre las normales. El m車vil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=老﹞d牟, tal como se aprecia en la figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleraci車n, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su m車dulo v por un vector unitario que tenga su misma direcci車n y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos t谷rminos
El primer t谷rmino, tiene la direcci車n de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleraci車n
El segundo t谷rmino, vamos a demostrar que tiene la direcci車n normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cos牟﹞i+sen牟﹞j
Su derivada es
El vector aceleraci車n es
Las componentes tangencial y normal de la aceleraci車n valen, respectivamente
Esta 迆ltima f車rmula, la obtuvimos de una forma m芍s simple para una part赤cula que describ赤a un movimiento circular uniforme.
Como la velocidad es un vector, y un vector tiene m車dulo y direcci車n. Existir芍 aceleraci車n siempre que cambie con el tiempo bien el m車dulo de la velocidad, la direcci車n de la velocidad o ambas cosas a la vez.
Si solamente cambia el m車dulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectil赤neo, tenemos 迆nicamente aceleraci車n tangencial.
Si solamente cambia la direcci車n de la velocidad con el tiempo, pero su m車dulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos 迆nicamente aceleraci車n normal.
Si cambia el m車dulo y la direcci車n de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parab車lico, tendremos aceleraci車n tangencial y aceleraci車n normal..
By YEUDIEL
