7.1Solucion De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Muchos Problemas Practicos En La Ingenieria Y La Ciencia Requieren La Solucion De Un Sistema De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Simultaneas.
Tales Sistemas Se Representan Como:
La Solucion De Este Sistema Rquiere Que Se Conozcan n Condiciones Iniciales En El Valor Inical De x
7.1.1 Metodo De Euler
El Procedimiento Para Resolver Un Sistema De Ecuaciones Consiste En Unicamente Aplicar La tecnica Simple Por Ecuacion De Cada Paso,
Antes De Proceder Con El Siguiente Ejemplo Resolver El Siguiente Sistema De Ecuaciones Diferenciales Utilizando El Metodo De Euler, Suponiendo Que En X=0, Y1=4, Y2=6. Integrar Hasta X=2 Con Un Tamaņo De Paso De 0.5
Aplicando el Metodo De Euler
Integrando dy1/dx: y1= −0.5y1*x+c y1= −0.5*y1*x+C.I. y1= −0.5*y1*x+4
Integrando dy2/dx: y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+c y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+6
y1= 3
y1(0.5)=4+(0.5*4)*0.5 y2= 6.9
y2(0.5)=6+(4-(0.3*6)-(0.1*4))*0.5
Formula De Euler
x y1 y2
0 4 6 Paso=0.5
0.5 3 6.9
1 2.25 7.715
1.5 1.6875 8.44525
2 1.265625 9.0940875
7.1.2 Metodos De RUNGE KUTTA
Los Metodos De Runge Kutta Logran La Exactitud De Las Series De Taylor
Sin Necesitar El Calculo De Derivadad De Orden Superior.
Es Posible Tener Varios Metodos De Ringe Kutta Empleando Deferente Numero
De Terminos En La Funcion Incremento Especificada Por n
El Metodo De Runge Kutta De Primer Orden Es De Hecho El Metodo De Euler.
Existen Muchas Variantes, Pero Todas Tienen La Forma Generalizada De La
Ecuacion:
Donde Se Reconoce Como Funcion Incremento, La Cual Puede Interpretarse Como
Una Pendiente Representativa En El Intervalo. La Funcion Incremento Se Escribe En Forma General Como:
Donde Las a son Constantes Y Las k Se Definen Por:
Donde Las p y Las q Son Constantes. Observe Que Las k Son relaciones De recurrencia. Es Decir, k1 Aparece
En La Ecuacion k2, La Cual Aparece En La Ecuacion k3.
Las Variantes Mas Comunes Al Metodo De RUNGE KUTTA Son HEUN, PUNTO MEDIO Y
Ralston
Ejercicio
Utilizar Los Metodos Del Punto Medio, y De Ralston Para Integrar Numericamente
La Ecuacion
Desde x=0 Hasta x=4, Usando Un Tamaņo De Paso De 0.5. La ecuacion Inicial Es De x=0 y=1
Comprobar Los Valores Obtenidos Usando HEUN De 2do Orden Sin Iteracion Del Corrector
El Primer Paso En El Metodo De Punto Medio Consiste En Usar La Ecuacion
k1=−2(0)^3+12(0)^2–20(0)+8.5 k1=8.5
En Seguida Calculamos k2
xi+1/2h=0+(1/2)(0.5) yi+(1/2)(8.5)(0.5)
0.25 3.125
k2=−2*(0.25)^3+12*(0.25)^2–20(0.25)+8.5 k2= 4.21875
La Pendiente En El Punto Medio Entonces se Sustituye En La Ecuacion Siguiente
yi+1=1+4.21875*0.5 yi+1= 3.1094
x y Real y Punto Medio k1 k2
0 1 1 8.5 4.21875
0.5 3.21875 3.1094 1.25 −0.59375
1 3 2.8125 −1.5 −1.65625
1.5 2.21875 1.984375 −1.25 −0.46875
2 2 1.75 0.5 1.46875
2.5 2.71875 2.484375 2.25 2.65625
3 4 3.8125 2.5 1.59375
3.5 4.71875 4.609375 −0.25 −3.21875
4 3 3 −7.5 −13.28125
Metodo De Ralston
x y Real k1 k2 yi+1 Error %
0 1 8.5 2.58203125 1 0
0.5 3.21875 1.25 −1.15234375 3.27734375 1.82038835
1 3 −1.5 −1.51171875 3.1015625 3.385416667
1.5 2.21875 −1.25 0.00390625 2.34765625 5.809859155
2 2 0.5 1.89453125 2.140625 7.03125
2.5 2.71875 2.25 2.66015625 2.85546875 5.028735632
3 4 2.5 0.80078125 4.1171875 2.9296875
3.5 4.71875 −0.25 −5.18359375 4.80078125 1.738410596
4 3 −7.5 −16.79296875 3.03125 1.041666667
7.2 Solucion De Sistemas De Ecuaciones Diferenciales
Resolver El Siguiente Sistema De Ecuaciones Diferenciales Utilizando El Metodo De Euler,
Suponiendo Que X=0, Y1=4, Y2=6. Integre Hasta X=2Con Un Tamaņo De Paso Igual A 0.5
Y1=−0.5Y1X+c
Y2=4X-0.3XY2–0.1XY1+C
Y2=X(4–0.3Y2–0.1Y1)+C
Formula Para El Metodo De Euler
x y1 dy2/dx Y2
0 4 0 6
0.5 3 1.8 6.9
1 2.25 1.63 7.715
1.5 1.6875 1.4605 8.44525
2 1.265625 1.297675 9.0940875
’‘’saludos al ing. Ramses
del ing. Ulises Guerrero
ITCH’‘’
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