EL METODO DE NEWTON RAPHSON SE APLICA EN INTERVALOS CERRADOS
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz . Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos :
Y despejamos :
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
, si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de ! Ejemplo 1 Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que . Solución En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz Error aprox. 1 1.268941421 21.19% 1.309108403 3.06% 1.309799389 0.052% De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:
Ejemplo 2 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que . Solución En este caso, tenemos que
La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:
Comenzamos sustituyendo para obtener:
En este caso tenemos un error aproximado de Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz Error aprox. 0 0.5 100% 0.5201957728 3.88% 0.5202689918 0.01% De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:
Ejemplo 3 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números reales positivos. Solución Sea . Queremos calcular tal que ; elevando al cuadrado , o bien:
Esto nos sugiere definir la función de donde . Al sustituir estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:
La cual simplificada nos da:
Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).
Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos y apliquemos la fórmula obtenida, comenzando con . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz Error aprox. 5 5.1 1.96% 5.099019608 0.019% 5.099019514 0.0000018%
De lo cual concluímos que , la cual es correcta en todos sus dígitos!
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces -ésimas de números reales positivos. Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.
