Metodo Eliminacion Gaussiana

Metodo Eliminacion Gaussiana

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.

Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:

1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente de cero.

2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación

3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un sistema de ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el método con un ejemplo:

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 6z= −2

7x + 8y + 10z = 5

Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

Usando el método de eliminación Gaussiana.

Solución:

Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.

Quedando como sigue:

Diagonal principal

La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo.

Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue:

Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).

Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones obteniendo:

Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2, tendríamos

y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:

y + 2(10) = 2

y + 20 = 2

y = 2- 20

y = −18

Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:

1x + 2y + 3z = 1

Si z= 10 y y=−18, entonces el valor de x será:

1x + 2y + 3z = 1

x + 2(−18) + 3(10)= 1

x – 36 + 30 = 1

x – 6 = 1

x = 1 + 6

x = 7

 La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= −18, y z= 10.

El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo 2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo numero de ecuaciones que de variables.


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