como estan aqui les dejo al ge runge kutta
MÉTODO DE RUNGE - KUTTA En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
Y’ = f(X, Y) (7)
con la condición inicial
Y(X0) = Y0 (8)
consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, … (9)
para determinar la solución de la ecuación diferencial en X = X1, X2, X3, … Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn+1 = Yn + h Y’n (10)
expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de definido por la expresión
(11)
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para: X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12)
en donde
(13)
en el método de Euler y
(14)
en lo que
Y’ = f(X, Y) (15)
en el método de Euler Mejorado. Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior. 2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y). Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función que aparece en la expresión (12). La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función está dada por la expresión:
(16)
en el cual
(17)
La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11) EJEMPLO Resolver
aplicando el método de Runge-Kutta. SOLUCIÓN De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:
Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la solución del problema es
Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente tabla:
X Y k1 k2 k3 k4 0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127 0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575 0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494 0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121 0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872 0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509
Ejemplo Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada la siguiente ecuación diferencial:
Solución Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos métodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos:
Para poder calcular el valor de , debemos calcular primeros los valores de , , y . Tenemos entonces que:
Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:
El proceso debe repetirse hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 0 1 1 0.1 1.01005 2 0.2 1.04081 3 0.3 1.09417 4 0.4 1.17351 5 0.5 1.28403 Concluímos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:
Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:
Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación! Ejemplo Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada la ecuación diferencial:
Solución
Igual que siempre, tomamos y llegaremos a la aproximación en dos pasos. Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:
Primera Iteración:
Segunda Iteración:
Concluímos entonces que el valor buscado es:
