Potencia de una matriz cuadrada.
Se define la potencia n-ésima de una matriz cuadrada (en caso contrario no tiene sentido), al producto matricial de n matrices iguales a A, esto es:
Ejemplo:
Calcular
Será, aplicando la asociatividad del producto de matrices:
En algunos casos se nos pide hallar la potencia de una matriz de exponente muy elevado. En estos casos, o bien la potencia es cíclica, o sea, conforme va elevándose el exponente llega un momento en que para un exponente dado, el resultado de la potencia coincide con la propia matriz inicial, o bien podemos encontrar una fórmula de inducción. Si esto ocurre, es fácil encontrar la potencia deseada. Veámoslo en un ejemplo: Calcular:
Calculamos primero A2 y A3:
Parece ser que las sucesivas potencias conservan la primera fila igual, la segunda cambia en primer término por el exponente y lo mismo la tercera. Cabe suponer que entonces la potencia n-ésima será:
. Demostremos que esto es así por inducción sobre el valor de n.
Ya hemos visto que se cumple para n=2 y para n=3. Supongamos que también se cumple para n-1 y veamos si lo hace para n. Al cumplirse para n-1 será cierta la igualdad:
Y multiplicando ambos miembros por A (por la derecha, recuérdese que el producto no es conmutativo), queda:
Queda demostrado que la igualdad supuesta era cierta, por tanto para n=100 tendríamos:
Calcula Calculemos las potencias sucesivas de A para ver si llega un momento que encontramos la matriz inicial:
Siendo la potencia cíclica de orden 3 (cada tres unidades del exponente se repite el resultado), entonces dividiendo 1948 entre 3 obtenemos 649 de cociente y 1 de resto, luego:
