MATRIZ INVERSA
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de nxn. La matriz inversa de A es una matriz B de nxn tal que:
A · B = In
B · A = In
Se escribe
para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa A-1 existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa. Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero. El método de Gauss-Jordan procede como sigue:Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad In del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad In . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:
A=
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad I2 :
El primer elemento pivote a11=4 está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por −1/4 y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:
Nuestro segundo elemento pivote es a22=0.25 . Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el renglón 2 por −11/0.25 y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:
Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por 1–4 y el renglón 2 por 1/0.25 . Esto nos da la matriz final:
Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
A-1=
Ejemplo 2. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de:
A=
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad:
Vemos que el primer elemento pivote a11=2 está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello multiplicamos el renglón 1 por 0.5/2 y lo sumamos al renglón 2; también, multiplicamos el mismo renglón 1 por 0.3125/2 y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:
Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor (con valor absoluto) entre a22=0.2 y a32=−1.25 , el cual obviamente es éste último. Por lo tanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:
Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote; para ello, multiplicamos el renglón 2 por −4/1.25 y lo sumamos al renglón 1, y también multiplicamos el mismo renglón 2 por 0.2/1.25 y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:
Nuestro tercer elemento pivote es a33=0.4 . Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el renglón 3 por −3.125/0.4 y lo sumamos al renglón 2, y también multiplicamos el mismo renglón 3 por 10/0.4 y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:
Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello multiplicamos el renglón 1, 2 y 3 por 1/2 ,−1/1.25 y 1/0.4 , respectivamente. Esto nos da la matriz final:
Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
A-1=
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