Limites De Cocientes

3.5.1 Límite de un Cociente

Queremos analizar el límite de un cociente     

Primeramente analizaremos los límites del numerador y del denominador,

supongamos que     

     y que     

Es importante señalar que solamente 3 casos son relevantes, cuando los valores de N y D son un valor diferente de cero, cuando algún valor es cero o cuando es infinito.

Obtenemos 9 casos que se resumen en la siquiente tabla:

	N	0	∞
D	N/D	0	∞
0	∞	IND	∞
∞	0	0	IND

Las columnas indican el valor del numerador y los renglones los valores del denominador, así por ejemplo si el numerador de un cociente tiende a un número real cualquiera y el denominador tiende a ∞ el cociente tiende a 0, como se ve en el últino renglón de la tabla, columnas 1 y 2.

La comprobación de los casos de la tabla es una consecuencia directa de las propiedades y de la definición de límite.

Nota: La tabla también abarca el vaso de límites laterales, el símbolo ∞ puede significar +∞ o -∞ por lo que tenemos que verificar siempre si el límite es positivo o negativo.

A continuación se presentan ejemplos de casa uno de los casos en la tabla, los tres primeros números corresponden al primer renglón, del 4 al 6 al segundo y 7, 8 y 9 para el tercero.

Ejemplo 1:     

Vemos que     

     y que     

por la tabla, vemos que la respuesta es directa utilizando el primer caso.

Ejemplo 2:     

Vemos que     

     y que     

por el segundo término del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es directa y el resultado es 0.

Ejemplo 3A:     

Vemos que     

     y que      , en el denominador utilizando el último caso de la primera colujmna en la tabla.

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Cuando tenemos el caso de infinito, debemos analizar los signos de las expresiones, así por ejemplo:

Ejemplo 3B:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Ejemplo 3C:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Ejemplo 4:         

Vemos que     

     y que     

por el primer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que el límite es infinito, pero como el numerador tiende a −2 tenemos:

Ejemplo 5. Indeterminación 0/0.     

Vemos que     

     y que     

Tenemos lo que se llama una indeterminación y necesitamos quitar dicha indeterminación para calcular el límite. Una forma muy simple es aplicando algún procedimineto algebraico para encontrar una expresión que sea igual a la función en todos los puntos excepto en el valor de x = 5.

Factorizamos numerador y denominador y obtenemos que

o sea que     

pero este último límite corresponde al primer caso porque     

     y     

por lo que     

Ejemplo 6:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Nota: En este caso es muy importante, como ya se mencionó, analizar los signos de las expresiones cerca delvalor al que tiende x. A veces el límite no existe porque puede tender a + ∞ por un lado y a - ∞ por el otro; también puede ser que tienda a cero el denominador con valores positivos por un lado y negativos por el otro, por lo que debemos de tener mucho cuidado. Muchas veces aparecen en este caso límites laterales.

Agragar ejemplos 6a y 6b de límites laterales.

Ejemplo 7.     

Vemos que el numerador tiende a 13 y el denominador tiende a + ∞ , por el primer caso del tercer renglón de la tabla el resultado es 0.

Ejemplo 8.     

Vemos que     

     y que     

por el segundo caso del tercer renglón de la tabla tenemos

Nota: En los casos de los ejemplo 8 y 9 no es relevante el signo de las expresiones, ¿por que?

Falta un ejemplo del último caso, con un método para quitar la indeterminación.

Ejemplo 9.     

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