Se analiza con generalidad el límite de un cociente, presentando un método para resolver los casos en que aparece una indeterminación.
El límite de un cociente lo podemos representar como:
{$ lim_{x → a} frac {f(x)}{g(x)} $}
Primeramente analizaremos los límites del numerador y del denominador, supongamos que
{$ lim_{x → a} f(x) = N $} y que {$ lim_{x → a} g(x) = M $}
Es importante señalar que solamente 3 casos son relevantes, cuando los valores de N y D son un número diferente de cero, cuando algún valor es cero o cuando es infinito.
Obtenemos 9 casos que se resumen en la siquiente tabla:
| N | 0 | ∞ | |
| D | N/D | 0 | ∞ |
| 0 | ∞ | IND | ∞ |
| ∞ | 0 | 0 | IND |
Las columnas indican el valor del numerador y los renglones los valores del denominador, así por ejemplo si el numerador de un cociente tiende a un número real cualquiera y el denominador tiende a ∞ el cociente tiende a 0, como se ve en el último renglón de la tabla, columnas 1 y 2.
La comprobación de los casos de la tabla es una consecuencia directa de las propiedades y de la definición de límite.
Nota: La tabla también abarca el caso de límites laterales, el símbolo ∞ puede significar +∞ o -∞ por lo que tenemos que verificar siempre si el límite es positivo o negativo.
A continuación se presentan ejemplos de casa uno de los casos en la tabla, los tres primeros números corresponden al primer renglón, del 4 al 6 al segundo y 7, 8 y 9 para el tercero.
Ejemplo 1:
{$ lim_{x → 2}frac {x^2 - x +3}{2x^2 + 1} $}
Vemos que {$ lim_{x → 2} (x^2 - x +3) = 5 $} {$ lim_{x → 2} (2x^2 + 1) = 9 $}
por la tabla, vemos que la respuesta es directa utilizando el primer caso.
{$ lim_{x → 2} frac {x^2 - x +3}{2x^2 + 1} = frac 5 9 $}
Ejemplo 2:
{$ lim_{x → −3} frac {x^2 - x - 6}{2x - 4} $}
Vemos que {$ lim_{x → −3} (x^2 - x - 6) = 0 $} {$ lim_{x → −3} (2x - 4) = −10 $}
por el segundo término del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es directa y el resultado es 0.
{$ lim_{x → −3} frac {x^2 - x - 6}{2x - 4} = 0 $}
Ejemplo 3A:
{$ lim_{x → oo} frac {2x^2 + 7}{3 - frac 1 x } $}
Vemos que {$ lim_{x → oo} (2x^2 + 7) = + oo $} {$ lim_{x → oo} (3 - frac 1 x ) = 3 $}, en el denominador utilizando el último caso de la primera columna en la tabla.
por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.
{$ lim_{x → oo} frac {2x^2 + 7}{3 + frac 1 x} = + oo $}
Cuando tenemos el caso de infinito, debemos analizar los signos de las expresiones, así por ejemplo:
Ejemplo 3B: {$ lim_{x → oo}frac {2 - x^2 }{frac 1 x −5} $}
Vemos que {$ lim_{x → oo} (2 - x^2) = - oo $} y que {$ lim_{x→ oo} (frac 1 x −5) = −5 $}
por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.
{$ lim_{x → oo} frac {2 -x^2}{frac 1 x - 5} = + oo $}
Ejemplo 3C: {$ lim_{x → 3} frac {4 + frac 1 {(x-3)^2} }{x^2 + 5} $}
Vemos que {$ lim_{x → 3} (4 + frac 1 {(x-3)^2}) = + oo $} y que & {$ lim_{x → 3} (x^2 + 5) = 14 $}
por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.
{$ lim_{x → 3} frac {4 + frac 1 {(x-3)^2} }{x^2 + 5} = + oo $}
Ejemplo 4: {$ lim_{x → 3} frac {1-x}{(x-3)^2} $}
Vemos que {$ lim_{x → 3} (1 - x) = −2 $} y que {$ lim_{x → 3} (x-3)^2 = 0 $}
por el primer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que el límite es infinito, pero como el numerador tiende a −2 tenemos:
{$ lim_{x → 3} frac {1-x}{(x-3)^2} = - oo $}
Ejemplo 5. Indeterminación 0/0. {$ lim_{x →o 5} frac {2x^2 - 9x - 5}{x^2 - 25} $}
Vemos que {$ lim_{x → 5} (2x^2 - 9x - 5) = 0 $} {$ lim_{x → 5} (x^2 - 25) = 0 $}
Tenemos lo que se llama una indeterminación y necesitamos quitar dicha indeterminación para calcular el límite. Una forma muy simple es aplicando algún procedimineto algebraico para encontrar una expresión que sea igual a la función en todos los puntos excepto en el valor de x = 5.
Factorizamos numerador y denominador y obtenemos que
{$ frac {2x^2 - 9x - 5}{x^2 - 25} = frac (x - 5)(2x + 1) (x - 5)(x + 5) = frac {2x + 1} {x + 5} $}
o sea que {$ lim_{x → 5} frac {2x^2 - 9x - 5}{x^2 - 25} = lim_{x → 5} frac {2x + 1} {x + 5} $}
pero este último límite corresponde al primer caso porque {$ lim_{x → 5} (2x + 1) = 11 $} {$ lim_{x → 5} (x + 5) = 10 $}
por lo que {$ lim_{x → 5} frac {2x^2 - 9x - 5}{x^2 - 25} = frac {11} {10} $}
Ejemplo 6: {$ lim_{x → 1} frac {6 + frac 1 {(x-1)^2} }{(x^2 - 3x + 2)^2 $}
Vemos que {$ lim_{x → 1} (6 + frac 1 {(x-1)^2}) = + oo $} y que {$ lim_{x → 1} (x^2 - 3x + 2)^2 = 0 $}
por el tercer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.
{$ lim_{x → 1} frac {6 + frac 1 {(x-1)^2} }{(x^2 - 3x + 2)^2} = + oo $}
Nota: En este caso es muy importante, como ya se mencionó, analizar los signos de las expresiones cerca delvalor al que tiende x. A veces el límite no existe porque puede tender a + ∞ por un lado y a - ∞ por el otro; también puede ser que tienda a cero el denominador con valores positivos por un lado y negativos por el otro, por lo que debemos de tener mucho cuidado. Muchas veces aparecen en este caso límites laterales.
Agragar ejemplos 6a y 6b de límites laterales.
Ejemplo 7. {$ lim_{x → 4} frac {x^2 + x - 7} {frac 1 {(x-4)^2} $}
Vemos que el numerador tiende a 13 y el denominador tiende a + ∞ , por el primer caso del tercer renglón de la tabla el resultado es 0.
{$ lim_{x → 4}\ (x^2 + x - 7) = 13 $} {$ lim_{x → 4} (x-4)^2 = + oo $}
{$ lim_{x → 4}frac {x^2 + x - 7} {frac 1 {(x-4)^2}} = 0 $}
Ejemplo 8. {$ lim_{x → 1} frac {2x^2 + 3x - 5} {frac 1 {(x-1)^2} } $}
Vemos que {$ lim_{x → 1} (2x^2 + 3x - 5) = 0 $} y que {$ lim_{x → 1} frac 1 {(x-1)^2 } = + oo $}
por el segundo caso del tercer renglón de la tabla tenemos
{$ lim_{x → 1}frac {2x^2 + 3x - 5} {frac 1 {(x-1)^2} } = 0 $}
Nota: En los casos de los ejemplo 8 y 9 no es relevante el signo de las expresiones, ¿por que?
Falta un ejemplo del último caso, con un método para quitar la indeterminación.
Ejemplo 9. {$ lim_{x → oo}frac {2x^3 + 7x + 1} {4x^3+9} $}
Aquí dividimos entre la variable de mayor grado cada uno de los términos del numerador y denominador
{$ lim_{x → oo}frac {frac {2x^3}{x^3} + frac{7x}{x^3} + frac 1 {x^3}} {frac {4x^3}{x^3}+frac 9 {x^3}} $}
implificamos y obtenemos:
{$ lim_{x → oo}frac { 2 + frac 7 {x^2} + frac 1 {x^3}} {4 + frac 9 {x^3}} $}
por las propiedades de límite, podemos obtener el límite de cada término y tenemos:
{$ frac { lim_{x → oo} 2 + lim_{x → oo} frac 7 {x^2} + lim_{x → oo} frac 1 {x^3}} {lim_{x → oo} 4 + lim_{x → oo} frac 9 {x^3}} = frac 2 4 = frac 1 2$}
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