Limite De Un Cociente

Se analiza con generalidad el límite de un cociente, presentando un método para resolver los casos en que aparece una indeterminación.

El límite de un cociente lo podemos representar como:

Primeramente analizaremos los límites del numerador y del denominador, supongamos que

y que

Es importante señalar que solamente 3 casos son relevantes, cuando los valores de N y D son un número diferente de cero, cuando algún valor es cero o cuando es infinito.

Obtenemos 9 casos que se resumen en la siquiente tabla:

	N	0	∞
D	N/D	0	∞
0	∞	IND	∞
∞	0	0	IND

Las columnas indican el valor del numerador y los renglones los valores del denominador, así por ejemplo si el numerador de un cociente tiende a un número real cualquiera y el denominador tiende a ∞ el cociente tiende a 0, como se ve en el último renglón de la tabla, columnas 1 y 2.

La comprobación de los casos de la tabla es una consecuencia directa de las propiedades y de la definición de límite.

Nota: La tabla también abarca el caso de límites laterales, el símbolo ∞ puede significar +∞ o -∞ por lo que tenemos que verificar siempre si el límite es positivo o negativo.

A continuación se presentan ejemplos de casa uno de los casos en la tabla, los tres primeros números corresponden al primer renglón, del 4 al 6 al segundo y 7, 8 y 9 para el tercero.

Ejemplo 1:

Vemos que

por la tabla, vemos que la respuesta es directa utilizando el primer caso.

Ejemplo 2:

Vemos que

por el segundo término del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es directa y el resultado es 0.

Ejemplo 3A:

Vemos que

, en el denominador utilizando el último caso de la primera columna en la tabla.

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Cuando tenemos el caso de infinito, debemos analizar los signos de las expresiones, así por ejemplo:

Ejemplo 3B:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Ejemplo 3C:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del primer renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Ejemplo 4:         

Vemos que     

     y que     

por el primer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que el límite es infinito, pero como el numerador tiende a −2 tenemos:

Ejemplo 5. Indeterminación 0/0.     

Vemos que     

     y que     

Tenemos lo que se llama una indeterminación y necesitamos quitar dicha indeterminación para calcular el límite. Una forma muy simple es aplicando algún procedimineto algebraico para encontrar una expresión que sea igual a la función en todos los puntos excepto en el valor de x = 5.

Factorizamos numerador y denominador y obtenemos que

o sea que     

pero este último límite corresponde al primer caso porque     

     y     

por lo que     

Ejemplo 6:     

Vemos que     

     y que     

por el tercer caso del segundo renglón en la tabla, vemos que la respuesta es + ∞.

Nota: En este caso es muy importante, como ya se mencionó, analizar los signos de las expresiones cerca delvalor al que tiende x. A veces el límite no existe porque puede tender a + ∞ por un lado y a - ∞ por el otro; también puede ser que tienda a cero el denominador con valores positivos por un lado y negativos por el otro, por lo que debemos de tener mucho cuidado. Muchas veces aparecen en este caso límites laterales.

Agragar ejemplos 6a y 6b de límites laterales.

Ejemplo 7.     

Vemos que el numerador tiende a 13 y el denominador tiende a + ∞ , por el primer caso del tercer renglón de la tabla el resultado es 0.

Ejemplo 8.     

Vemos que     

     y que     

por el segundo caso del tercer renglón de la tabla tenemos

Nota: En los casos de los ejemplo 8 y 9 no es relevante el signo de las expresiones, ¿por que?

Falta un ejemplo del último caso, con un método para quitar la indeterminación.

Ejemplo 9.     

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