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Ley del Mosquetero
Me sucedió hace varios años cuando estaba dando clase a un grupo de Cálculo de primer semestre de Ingeniería Industrial.
Tenía la expresión 5 ( 3 senx) y les dije, multiplicamos y la respuesta es 15 senx .
Inmediatamente un alumno me pregunta que por qué el número 5 multiplicó solamente al 3 y no a senx. La pregunta me sorprendió y como de costumbre le pensaba contestar se debe a la ley asociativa de la multiplicación y que no debía confundirla con la ley distributiva, que es cuando se combina la multiplicación con la suma, pero hice una pausa y me puse a pensar que el problema era más serio.
Cómo le puedo decir a un alumno que en determinada situación multiplique, divida, cancele, tome todos los elementos o nomás uno. Lo más probable es que haga lo que le diga y cuando se presente una situación similar no sepa qué hacer y vuelva a tener que preguntar o a cometer un error.
Lo cierto es que la mayoría de los alumnos recuerdan las propiedades de los números reales, solamente cuando el maestro se las va apreguntar, o sea antes de un examen de números reales y sus propiedades, pero muchas veces no entienden y pasado el examen se olvidan de ellas. No encuentran una relación con lo demás.
El alumno va recordando pasos válidos de álgebra de acuerdo a la experiencia, por los pasos que ve que su maestro hace y casi nunca los relaciona con las propiedades básicas.
La pregunta es entonces, cómo enseñar las propiedades básicas para que el alumno las recuerde y cómo lograr que las utilice en un desarrollo algebraico.
A raíz de ese detalle se me ocurrió el siguiente método para que el alumno recuerde las propiedades y que las conecte con pasos válidos comunes de álgebra elemental.
La pregunta es: Si * representa la multiplicación
A * ( B & C )
el término A multiplica a UNO o a TODOS.
El alumno se encuentra con un dilema, y recordando a D´Artagnan que citó a los 3 mosqueteros para enfrentarlos a duelo, pero como llegaron los tres juntos, tuvo el dilema de si enfrentar a uno o enfrentar a todos, el 28 de septiembre del 2005 decidí bautizarla con el nombre de la Ley del Mosquetero, después de que un alumno multiplicó 2 por 3(k+1) y escribió 6(2k+2) como respuesta.
La Ley del Mosquetero
En A * ( B & C )
A * ( B * C ) = (A*B) * C
A * ( B + C ) = A*B + A*C
Es sorprendente lo que se puede hacer con esta ley.
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4. Factorizar
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
Todos los casos anteriores se pueden justificar con la Ley del Mosquetero, claro que estamos también considerando por un lado:
Las tres propiedades básicas de cerradura, asociatividad de la suma y conmutatividad.
Por otro lado recordamos la ley de elementos neutros y elementos inversos.
O sea que laley del mosquetero, junto a las leyes mencionadas, vienen a ser lo único que debemos recordar para relacionar y deducir todo lo demás en álgebra.
Consideramos la resta como la suma con un inverso y la división como el producto con un un inverso y todas las propiedades algebraicas, de cancelación que el joven aprende se pueden recordar facilmente y justificar con la Ley del Mosquetero.
Para un desarrollo completo ver Todas las Propiedades de Algebra
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