Función de utilidad y preferencia por el riesgo
Existe evidencia empírica de que las funciones de utilidad de muchos individuos tienen un área de preferencia por el riego. En esta área, la pendiente de la función de utilidad aumenta hasta un punto de inflexión y después se reduce (la figura 1 tiene dos puntos de inflexión).
Es bastante consistente que un individuo con una función de utilidad de esta forma U (M), en la figura 1 (1) pague una pequeña prima de seguro contra grandes perdidas, incluso cuando la prima incluya un costo de “carga” mayor que el costo actuarial de tomar el riesgo; y (2) al mismo tiempo acepte propuestas que suponen el riesgo de obtener beneficios modestos o cuantiosos a cambio de pequeñas inversiones, incluso si la expectativa matemática hace que la apuesta parezca injusta.
Figura 1.- Utilidad de la Riqueza
Ejemplo: Considere un empresario cuya tabla de utilidad contiene los valores de la tabla 1 y suponga que existen dos decisiones: (a) ¿Es deseable pagar una prima de 100 dólares para asegurarse contra la posibilidad de una perdida de 10 000 dólares por incendio, sí la posibilidad de un incendio en la propiedad del empresario es de 1 en 200? (b) ¿Es deseable invertir 100 dólares en un proyecto de perforación para buscar petróleo, en el cual un geólogo indica que sólo hay una posibilidad en 200 de encontrar petróleo (con la expectativa de 10 000 dólares de beneficio) y 199/200 de probabilidad de perder la inversión? Analicemos estas decisiones en función de las expectativas que se calculan a partir de las medidas de la utilidad. En la tabla 2, la utilidad esperada de la acción 1 es menor que a utilidad esperada de la acción 2; el empresario maximiza la utilidad si elige la acción 2 (asegurar). Tabla 1.- La decisión de invertir o no invertir se puede analizar de la misma manera. La tabla de utilidad 3 se puede elaborar con base en la información disponible. De ella se desprende que la utilidad esperada de la acción 1 es menor que la utilidad esperada de la acción 2. Entonces, el empresario maximiza la utilidad al seleccionar la acción 2 (invertir). El proyecto con riesgo se aceptaría, al mismo tiempo que el empresario se asegura en contra de una perdida, en contradicción con la decisión que indicaría el valor monetario esperado.
Tabla 2.- Utilidad condicional y esperada para el seguro
Cuando los aspectos de riesgo son importantes, puede ser más apropiado maximizar la utilidad esperada y no el valor monetario esperado. Una función de la utilidad se puede determinar por medio de las loterías y puntos de indiferencia o a través de equivalentes ciertos. La alternativa de decisión que maximice la utilidad esperada es la alternativa preferida.
Tabla 3.- Utilidad condicional y esperada para la inversión.
Función de utilidad multiatributo
En algunos problemas de decisión pueden existir varios factores o atributos de importancia que afecten el valor de un resultado. Por ejemplo, varios programas de seguridad en carreteras pueden reducir el número de accidentes fatales y la cantidad de daños a las propiedades. Primero veremos un ejemplo determinista (sin riesgo) y luego lo modificaremos para incluir aspectos de riesgo.
Ejemplo: suponga que hay cinco propuestas diferentes para mejorar la seguridad en las carreteras, todas con el mismo costo anual. Los resultados anticipados se presentan en la tabla 4.
Tabla 4.- Propuestas de alternativas de seguridad.
Un enfoque inicial seria tratar de reducir el problema con varios atributos a un problema con un solo criterio, buscando una forma de que los atributos sean directamente comparables. Por ejemplo, suponga que se estudia un gran número de decisiones en el pasado que implicaban transferencia o intercambio entre las muertes y el número de dólares invertidos para evitarlas y se descubre que, en promedio, las decisiones anteriores indicaron que la sociedad estaba dispuesta a gastar 250 000 dólares para evitar un accidente fatal. En la tabla 5 se muestran los resultados monetarios de las cinco alternativas, con base en la estimación de 250 000 dólares para la conversión de fallecimientos a dólares.
A partir de la tabla 5, se encuentra que la alternativa C presenta el mayor valor monetario si se evalúa un fallecimiento en 250 000 dólares. Este ejemplo ilustra como se pueden usar intercambios entre atributos distintos para convertir un problema con varios atributos a un problema con uno solo.
Tabla 5.- Resultados monetarios (suponiendo un fallecimiento = 250 000 dólares)
Atributos no comparables: Dominación
Hay casos en los cuales los atributos no se pueden comparar directamente. Suponga que no se puede acordar un valor monetario para un fallecimiento, en el ejemplo anterior. El siguiente paso seria buscar alternativas dominadas. Una alternativa dominada es aquella cuyos resultados son todos los inferiores o iguales a los resultados de otra alternativa. Si revisa la tabla 5, puede observar que la alternativa E es dominada por la alternativa A, la cual tiene la misma reducción en el numero de fallecimientos y un resultado mas favorable en lo que se refiere a daños a propiedades. Entonces, se puede eliminar la alternativa E.
Si las alternativas de decisión no son mutuamente excluyentes y se pueden usar dos o más en cualquier proporción, entonces es conveniente buscar una dominación ponderada. En el ejemplo, esto se obtiene elaborando el grafico de las cuatro alternativas restantes. Se pueden unir los resultados de la figura 2 que ofrezcan la mayor cantidad de un atributo con respecto a otro; así, los resultados B, C y D se unen por medio de líneas. Estas líneas representan una frontera eficiente.
Observe la posición de la alternativa A con respecto a la frontera eficiente; está debajo de la línea que une las alternativas C y B. esto significa que una mixtura o media ponderada de B y C superaría a A, por lo cual A es dominada por las alternativas B y C; esto correspondería a invertir una tercera parte del presupuesto en la alternativa B y dos terceras partes en C. el resultado medio ponderado seria:
Reducción en fallecimientos (1/3) (150) + (2/3) (75) = 100 Reducción en daños a propiedades (1/3) (20) + (2/3) (40) = 33.33
El punto (100, 33.33) está sobre la frontera eficiente y directamente encima de la alternativa A, por lo cual la domina.
Figura 2.- Alternativas de propuestas de seguridad.
El concepto del dominio ponderado solo tiene sentido cuando las alternativas no son mutuamente excluyentes y pueden usarse en proporciones diversas. En el ejemplo, la alternativa B podría ser la publicidad para el uso del cinturón de seguridad y la alternativa C podría comprender la construcción de vallas más resistentes en las curvas de las carreteras. Cada una de estas alternativas puede aplicarse en forma de promedio ponderado, asignando una parte del presupuesto a B y el resto a C, suponiendo que los resultados reales de las alternativas son proporcionales a los gastos que se efectúan.
Elección entre alternativas
Para escoger uno de los puntos de la frontera eficiente, se pude al decisor que especifique los puntos de indiferencia entre los diversos resultados. Considere la figura 3, donde los atributos se representan en los ejes. Suponga que se presenta un resultado especifico X (100 fallecimientos y 40 millones de dólares en daños a propiedades) al decisor. Luego se escoge otro resultado, Y (con 125 fallecimientos y 35 millones en daños) y se pregunta “¿Son iguales los resultados X e Y?” Si Y es preferido a X, se crea un resultado Z con 125 fallecimientos y 20 millones de dólares en daños. Suponga que X es preferido a Z. al variar la cantidad de daños a propiedades con los 125 fallecimientos, se puede llegar a determinar un punto de indiferencia en el cual el decisor considera que los dos resultados tienen el mismo valor. Suponga que el resultado W (125 fallecimientos, 30 millones de dólares en daños), el decisor es indiferente entre W y X; se podría dibujar una curva de indiferencia entre estos dos puntos. Si se continuara con una serie de preguntas similares, se podrían establecer conjuntos de curvas de indiferencia, como las que se observan en la figura 3.
Figura 3.- Curvas de indiferencia.
Una vez que se ha obtenido un conjunto de curvas de indiferencia, se puede combinar con la frontera eficiente de la figura 2 para obtener una decisión óptima. La figura 4 contiene las curvas de indiferencia y la frontera eficiente. La decisión óptima es seleccionar el punto de la frontera eficiente que alcanza la curva de indiferencia más alta. En la figura 4 la decisión optima se representa con F, que equivale a aproximadamente una reducción de 128 fallecimientos y de 26 millones de dólares en daños a propiedades y es un promedio ponderado de las alternativas B y C.
Figura 4.- Decisión Optima.
Análisis conjunto
Para construir las curvas de indiferencia entre más de dos atributos, es común una técnica estadística llamada análisis conjunto. Esta técnica es cada vez más popular entre los gerentes de mercadotecnia que necesitan evaluar la utilidad relativa de diversos atributos de productos para los consumidores actuales y potenciales. El resultado del análisis seria un conjunto de ponderaciones de importancia para cada atributo. Por ejemplo, los pesos promedio de la importancia de los atributos de un automóvil podrían ser los de la tabla 6. Los gerentes de mercadotecnia pueden obtener estos datos para otros segmentos de la población de posibles compradores y diseñar productos combinaciones de atributos que sean atractivos para distintos sectores del mercado.
Tabla 6.- Ponderación de la importancia del análisis conjunto.
En resumen podemos decir que en situaciones sin riesgo con varios atributos, primero se intenta descubrir las transferencias o intercambios entre atributos que permitirían reducir el problema a un solo atributo, como seria el dinero. Si no puede lograrse un acuerdo con respecto a tal intercambio, se busca la eliminación de las alternativas dominadas y, si éstas no son mutuamente excluyentes, se eliminan también las alternativas dominadas por combinaciones de otras alternativas (el caso del dominio ponderado). Las alternativas que quedan forman una frontera eficiente. Luego, se elaboran conjuntos de curvas de indiferencia con la frontera eficiente para obtener la decisión óptima (la que se encuentra en la curva de indiferencia mayor).
Resultados en riesgo
Hemos visto que el análisis de un problema de decisión con varios atributos es bastante complejo, incluso si los resultados no son inciertos. El análisis del problema general con resultados inciertos es un problema muy complejo. Aunque, en teoría, el método de detección de los puntos de indiferencia puede aplicarse al caso que implica riesgo, en la práctica es un procedimiento muy complicado y tedioso.
Hay una versión del problema de riesgo que es bastante fácil de analizar. La situación en la cual el riesgo de los atributos se trata en forma independiente. La independencia de los atributos en riesgo no significa que los atributos no se relacionen; quiere decir que las preferencias de aversión al riesgo con respecto a un atributo no son una función del nivel de riesgo del otro atributo. Lo anterior queda claro con el siguiente ejemplo.
Ejemplo: considere el ejemplo anterior, pero ahora suponga que solo hay dos alternativas, B y C, y que los resultados de estas son inciertos. La figura 5 describe los resultados y sus posibilidades. Digamos que el decisor determina dos funciones de utilidad distintas para la reducción en el número de fallecimientos y la reducción en daños a propiedades y está de acuerdo en que la utilidad total es la suma de las dos funciones de utilidad. Si la utilidad total se puede separar en dos funciones de utilidad aditivas, entonces el problema puede analizarse de manera bastante directa.
Figura 5.- Resultados Inciertos.
Por ejemplo, suponga que el decisor tiene una función de utilidad U1 para la reducción en el número de fallecimientos, que se representa en la figura 6, y una función de utilidad correspondiente U2 para la reducción en los daños a propiedades, que se muestra en la figura 7.
Figura 6.- Utilidad de la reducción en el numero de fallecimientos. Ahora las funciones de utilidad se pueden usar con resultados en riesgo para determinar la utilidad de cada alternativa, si las funciones de utilidad son aditivas.
Para la alternativa B: U (B) = 0.50 U1 (100) + 0.50 U1 (200) + 0.50 U2 (15) + 0.50 U2 (25)
Al tomar los valores de la utilidad de las figuras 6 y 7: U (B) = 0.5 (0.75) + 0.5 (1.0) + 0.5 (0.38) + 0.5 (0.60) = 1.365
Para la alternativa C: U© = 0.67 U1 (70) + 0.33 U1 (85) + 0.67 U2 (35) + 0.33 U2 (50)
Una vez más tomando los valores de las figuras: U© = 0.67 (0.60) + 0.33 (0.68) + 0.67 (0.80) + 0.33 (1.0) = 1.4924 Por lo tanto, la alternativa C es preferida a la alternativa B.
Al llegar a este punto es necesario hacer una advertencia: puede ser imposible representar las preferencias del decisor por medio de funciones de utilidad separadas aditivas. En dicho caso, hay que combinar el método de la curva de indiferencia y la evaluación de las preferencias, y el análisis se complica con rapidez.
Figura 7.- Utilidad de la reducción en daños a propiedades. Los problemas de riesgo con varios atributos se pueden resolver con funciones de utilidad si la utilidad de los resultados se puede representar con funciones de utilidad aditivas para cada atributo.
Teoría de las perspectivas
Kahneman y Tversky critican la teoría de la utilidad esperada porque han observado acciones que no son consistentes con ella. Ofrecen otro esquema alternativo que se denomina teoría de las perspectivas. Veremos los tipos de problemas que motivaron a Kahneman y Tversky. Considere dos loterías, A y B: Lotería Resultados Probabilidad A $4000 0.8
0 0.2
B 3000 1.0
¿Cuál lotería escogería usted? Como podría esperarse, un mayor porcentaje de las personas eligió B, la certeza de 3000 dólares en lugar de 4000 dólares inciertos. También ofrecieron otras dos loterías: Lotería Resultados Probabilidad C $4000 0.2
0 0.8
D 3000 0.25
0 0.75
En este caso la mayoría de la gente prefirió C. Por desgracia para la teoría de la utilidad, la preferencia de C en lugar de D no es consistente con la elección de B en lugar de A. Si se establece U (0) = 0, con B preferida sobre A, se tiene: U (3000) 0.8 U (4000) Si se prefiere C en lugar de D: 0.2 U (4000) 0.25 U (3000) Multiplicando ambos lados por 4, se obtiene: 0.8 U (4000) U (3000) U (3000) 0.8 U (4000) no es consistente con 0.8 U (4000) U (3000).
En el segundo conjunto de loterías se proporciono información adicional (la posibilidad del resultado cero para la lotería D) que confunde al decisor. Aparece una ilusión, el decisor cae en la trampa y escoge C en vez de D. Para ayudar al decisor, cambiaremos el método de presentación de las loterías C y D, pero no las cambiaremos.
Suponga que hay tres pasos.
Paso 1. Una posibilidad o suceso aleatorio. Hay 0.75 de probabilidad de 0 y 0.25 de probabilidad de pasar la opción que comprende las loterías A y B.
Paso 2. Hay que escoger entre A y B.
Paso 3. Determinar el resultado aleatorio de A si se elige A.
Observe que la única decisión que existe es elegir entre A y B y ya sabemos que se prefiere B. La figura 8 muestra el árbol de decisión para los tres pasos.
Figura 8.- Si se elige la lotería B, entonces se tiene: resultados Probabilidad 3000 0.25 0 0.75 lo cual es la teoría D. Si se escoge la lotería A, se tiene: resultados Probabilidad 4000 0.20 0 0.80
lo cual es la lotería C. como se escogió la lotería B, en realidad se elige la lotería D en lugar de la C. Este ejemplo muestra como es posible confundir al decisor si se introduce información adicional.
Kahneman y Tversky destacan un punto fundamental: la estructura de las elecciones y la información pueden influir sobre la decisión. Estas observaciones son muy importantes, ya que proponen que el decisor debe saber que hay que llegar al fondo de las palabras y de los números para extraer los elementos básicos para la decisión. Hay que darse cuenta de que la frase “el vaso está medio lleno” es, en el contexto de una decisión, exactamente igual que la frase “el vaso está medio vacío” y debemos ser indiferentes ante la opción de uno de los dos vasos. No solo son importantes los resultados y sus probabilidades, sino también la forma en que se presentan.
