Intervalos Confianza Varianza
Si deseamos estimar la proporción p con que una determinada característica se da en una población, a partir de la proporción p’ observada en una muestra de tamaño n, sabemos que · la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal con q=1-p Como la proporción p de la población es desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100. · Entonces para un nivel de confianza 1-a, p pertenece al intervalo:
3.9 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA RELACIÓN DE VARIANZAS Se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas s 1 y s 2, respectivamente. De este par de poblaciones se tienen disponibles dos muestras .aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente; sean S1
y S2 las varianzas muestrales respectivas. Para hallar el intervalo de confianza del 100(1-a)% para el cociente de dos varianzas sabemos que la siguiente relación tiene una distribución muestral F con n1–1 y n2–1 grados de libertad:
Entonces, para construir el intervalo de confianza para la relación de dos varianzas, nos basamos en la siguiente probabilidad:
Si invertimos el término central de la desigualdad anterior, obtenemos lo siguiente:
Usando el hecho de que obtenemos el siguiente intervalo de confianza para la relación de dos varianzas.
Teorema. Si son las varianzas de muestras aleatorias independientes tomadas de poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza 100(1-a)% para el cociente de dos varianzas está dado por:
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si X1, X2, Xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal, y si S
es la varianza muestral, entonces S es un estimador puntual razonable de la varianza poblacional s
. Por otra parte, si la población es normal, la distribución muestral de la siguiente variable es una distribución ji-cuadrado con n-1 grados de libertad.
Por lo tanto, para obtener un intervalo de confianza del 100(1-a)% para la varianza s2 nos basamos en el estadístico S
y en la distribución chi cuadrado. Por lo tanto, tenemos la siguiente probabilidad:
Manipulando las expresiones tenemos que:
Teorema. Si S
es la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de una distribución normal con varianza desconocida s
, entonces el intervalo de confianza de 100(1-a)% para s
es:
Ejemplo. Un proceso produce cierta clase de cojinetes de bola cuyo diámetro interior es de 3 cm. Se seleccionan en forma aleatoria 12 de estos cojinetes y se miden sus diámetros interiores, y los valores resultantes son los siguientes: 3.01, 3.05, 2.99, 2.99, 3.02, 3.00, 2.98, 2.99, 2.97, 2.97, 3.02 y 3.01. Suponiendo que el diámetro es una variable aleatoria normal, determine un intervalo de confianza para la varianza poblacional . Use un intervalo de confianza del 99%.
Solución. Tenemos: , El intervalo de confianza estará dado por:
En el intervalo de confianza para la varianza, el punto medio del intervalo (0.001266) no coincide con el estimador puntual, debido a la no simetría de la distribución chi cuadrado.
