Método de Romberg.ortiz salazar jesus
Una estrategia fructífera para acelerar la convergencia consiste en combinar aproximaciones obtenidas con un mismo método numérico pero con mallas refinadas a la mitad del paso anterior. Ese procedimiento se conoce con el nombre de extrapolación. Sea Ii0(f) la fórmula del Trapecio que aproxima I(f) = abf(x)dx con paso h = b-a 2i , es decir, que utiliza (2i + 1) nodos equiespaciados: xj = a + jh j = 0,1,…,2i. Consideremos una lista de estos valores para i = 0,1,…,K y a partir de ella construiremos una segunda lista definida por Ii1(f) = 4Ii+10-I i0(f) 3 para i = 0,1,…,K - 1. Se comprueba fácilmente que la fórmula Ii1(f) corresponde al método de Simpson con paso h = b-a 2i+1 . En efecto, para este h las fórmulas del Trapecio Ii0(f),Ii+10(f) con pasos 2h = b-a 2i y h, respectivamente, serán
y por lo tanto
Se tiene así que la combinación propuesta de 2 fórmulas de Trapecio, que cometen errores que dependen de (2h)2 y h2 respectivamente, produce una fórmula de Simpson cuyo error depende de h4, si f C[a,b]4 y por lo tanto convergerá más rápido si h decrece. La pregunta que surge de inmediato es acerca de la posibilidad de combinar apropiadamente 2 fórmulas de Simpson (de la lista Ii1(f)) de modo de aumentar aún más la velocidad de convergencia. Esto es efectivamente posible si f tiene la regularidad suficiente. En general se puede definir el procedimiento recurviso
para 1 < k < K, 0 < i < K - k
(3.12)
Tabla 3.4: Tabla de Romberg y confeccionar una tabla triangular de aproximaciones de I(f) según el esquema de la tabla 3.4.
En cada columna k se tiene un método que converge con h2(k+1) si f C[a,b]2(k+1). La aproximación de Romberg de I(f), es I0K y comete un error que depende de h2K+2 con h = b-a 2K . Sin llegar a constituir una demostración, el desarrollo que sigue ilustra este comportamiento de ganar 2 órdenes de convergencia por cada columna que se agrega. Toda la construcción se hace a partir de la fórmula del Trapecio, cuyo error hemos expresado antes. Cuando se analizó el comportamiento asintótico de éste (para n + 1 nodos), observamos la presencia de una suma de Riemann:
que puede ser aproximada por la expresión asintótica del error
Para comparar En(f) con n(f) notamos que integrando 2 veces por partes se tiene
y por lo tanto, el error de Trapecio con (n + 1) nodos se puede expresar como
Como
conviene realizar la comparación para cada sumando.
Si la regularidad de f lo permite, integrando por partes esta última integral se tendrá,
eliminando el segundo sumando, que se anula tanto en 0 como en h, e integrando nuevamente por partes se obtiene
Nuevamente se anula el segundo sumando y debe ser eliminado. Para obtener una vez más un término que se anule en la integración por partes, sumamos y restamos la cantidad
con lo cual se tiene
Integrando nuevamente por partes (si la regularidad de f lo permite), se cancelará un término y se tendrá que la última integral es igual a
lo que corresponde a un término en f(5) y h6 que denotaremos por
Sumando esta expresión obtenemos finalmente que si f C[a,b]5 el error del Trapecio se puede escribir como
El procedimiento mediante el cual se llegó a esta expresión del error del método del Trapecio se puede continuar hasta donde la regularidad de f lo permita. En el teorema que sigue se explicitan las fórmulas del error así obtenidas.
Teorema 3.5.1. Sean m > 0 y n > 1,h = b-a n ,xj = a + jh, para j = 0,1,…,n. Si f C[a,b]2m+2, entonces, el error de la fórmula del trapecio asociada a esta malla se puede expresar como
(3.13)
donde:
es la extensión periódica del polinomio de Bernoulli de grado j definido implicitamente por
y Bj = - 01Bj(x)dx son los números de Bernoulli.
Para una demostración formal de este Teorema se necesita usar las propiedades de estos polinomios y números, lo que escapa a nuestro interés. (Véase por ejemplo Ralston (1)). En cambio podemos utilizar la expresión (3.13) para analizar el error de las fórmulas que aparecen en la tabla de Romberg. Sea
el error de la fórmula de integración Iik(f) de la tabla de Romberg. la expresión (3.13) con n = 2i corresponde así a Ei0(f) y por lo tanto
Como B4 = −1/30, el término para j = 2 en la sumatoria resulta ser
que corresponde al error asintótico de Simpson con paso (b - a)/2i+1 como se esperaba. Del mismo modo se observa que la expresión del error de la fórmula
comienza en j = 3 con el término
ya que el término de la sumatoria para j = 2 se cancela. En resumen, si la regularidad de f lo permite, utilizando la expresión del error del método del Trapecio entregada por el teorema anterior, se puede probar que en la columna k-ésima de la tabla de Romberg se tiene una fórmula de integración que converge con h2k+2. Es decir, mediante el método de Romberg se acelera la convergencia. En las tablas que siguen mostraremos el comportamiento del método de Romberg en dos casos en los cuales la función tiene la regularidad suficiente. El índice i de la primera columna indica, al igual que en las tablas anteriores, que el paso correspondiente, de la fórmula del Trapecio de esa misma línea, es h = (b - a)/2i. La diagonal superior de la tabla corresponde a las sucesivas aproximaciones de Romberg.
Ejemplo 3.5.2.
Veamos un ejemplo de como funciona el método de Romberg para el caso descrito anteriormente, con parametros a, b (intervalo), i número de iteraciones y k máximo de la lista de valores.
Romberg a = , b = , i = y k =
En el capítulo anterior vimos (Figura 2.2) como la función con forma de campana, f(x) = 1/(1 + x2), si bien es infinitamente derivable, tiene derivadas cuya norma crece con el orden de derivación y por lo tanto sus polinomios de interpolación sobre mallas equiespaciadas empeoraron al duplicar el número de puntos considerados. Como advertimos que el error de las fórmulas de integración que aparecen en la tabla de Romberg en la columna k-ésima depende de la derivada 2(k + 1)-ésima, entonces la esperada aceleración de la convergencia puede verse desfavorecida, en este caso.
