1.10 Implicación Tautológica

La implicación es probablemente el concepto de lógica más utilizado por el ser humano, se usa en cualquier desarrollo matemático para indicar que un paso se obtiene de otro de manera correcta. Se utiliza para enunciar teoremas y propiedades, casi todas las propiedades se pueden enunciar utilizando la implicación. Es también muy utilizado en el razonamiento humano en ciencias sociales, filosofía, e incluso en la vida diaria casi todo mundo hace implicaciones constantemente. Sin embargo como se puede observar hastaahora no se ha visto el concepto.

Lo primero que podemos observar es que vimos el operador condicional en la sección 1.3.4 Condicional. Y este operador es la base para definir la implicación.

Definición.

La implicación ⇒ de dos fórmulas lógicas es la condicional cuando dicha condicional es una tautología.

Con símbolos: A ⇒ B significa que A → B es una tautología.

O sea que para poder utilizar la implicación, A ⇒ B debemos estar seguros de que la expresión A → B es verdadera siempre.

Para Ludwig Wittgenstein, la tautológica se trata de una proposición que necesariamente es verdadera (A es = A), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta “a priori” (= previo a la experiencia) y sirve de premisa obvia.

Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón.

Ejemplo:

x + 5 = 8    ⇒    x = 3

Claramente es una implicación, pues no se puede presentar el caso de que x+5=8 sea verdadero y x=3 falso, entonces para cualquier valor de x, la expresión es verdadera y por lo tanto una tautología.

Precisamente el sentido de la implicación, A ⇒ B es asegurar que cuando A es verdadero tenemos la certeza de que B también es verdadero, o sea que es suficiente que A se cumpla para que se cumpla B. También incluye el caso de que si B es falso estamos seguros de que A también debe ser falso, por lo que B es una condición necesaria para A.

En general debido a la importancia que tiene la implicación es conveniente poder enunciarla y entenderla de varias formas para poder obtener mejor provecho del concepto. Aquí presentamos algunas maneras equivalentes de enunciar la implicación.

Una proposición p se dice que implica tautologicamente una proposición
que si y solo si la condicional p → q es una tautología. Hay una implicación tau- tologica es una tautología cuya forma es la de una proposición condicional.
La proposición p ^ q →p es una implicación tautológica.
Para construir la condicional que corresponde a un razonamiento se ligan Simplemente con ^ todas las premisas para formar la conjunción de premisas que es el antecedente, y después se pone la conclusión del razonamiento como consecuente.
Veamos el siguiente ejemplo:
Demostrar:r ^ s
(1) p
(2) p → q
(3) ¬q _ (r ^ s)


El condicional correspondiente serıa: ‘p ^ (p → q) ^ (¬q U (r ^ s)) → r ^ s’


Otro ejemplo seria esta sencilla tabla:

Equivalencias de la implicación

A ⇒ B
Si A entonces B
Si A, B
Si A B
B si A
Siempre que sucede A sucede B
No puede suceder B si no sucede A
B es una consecuencia de A
A sólo si B
A es razón suficiente para B
B es razón necesaria para A

Todas las formas de enunciar la implicación se pueden entender más claramente si analizamos la tabla de la condicional, Sección 1.3.4 Condicional, teniendo claramente en cuenta que el segundo renglón no puede ocurrir, pues la expresión es una tautología.

Audio

Conclusion

La implicacion se a usado desde que el hombre tuvo la capacidad de razonar y comparar, cuando este se dio cuanta de algun verdad y la comparo con su entorno fue cuando se experimento con este concepto por primera vez. Este tema va obviamente ligado al tema 1.9 de Tautologias y Contradicciones, si se tiene alguna duda, por favor consulte ese capitulo.

Bibliografia
Wikipedia.org
Monografias.com

Editado por Gomez Leon Francisco Javier y Duck Prado Mario Alberto

Ingenieria en Sistemas Computacionales 1A