Gramaticas Y Lenguajes Formales

GRAMATICA

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La gramática de un lenguaje es el conjunto de reglas capaces de generar todas las posibilidades combinatorias de ese lenguaje, ya sea éste un lenguaje formal o un lenguaje natural.

La expresión “gramática formal” tiene dos sentidos:

(a) gramática de un lenguaje formal. (b) descripción formal de la gramática de un lenguaje natural.

En cuanto a (b), la descripción formal de la gramática de una lengua es la que explicita las reglas combinatorias mentales a partir de fórmulas lógico-matemáticas.

Estas reglas combinatorias que utiliza el lenguaje natural reciben el nombre de sintaxis, y son inconscientes.

En cuanto a (a), ‘gramática formal’ se utiliza en analogía con el concepto de gramática, usado tradicionalmente para los lenguajes naturales. Por tanto, una gramática formal es el conjunto de reglas combinatorias de un lenguaje formal. Hay distintos tipos de gramáticas formales que generan lenguajes formales (véase la Jerarquía de Chomsky).

Imaginemos una gramática con estas dos reglas:

1. A → bAc 2. A → de

La idea es substituir el símbolo inicial de la izquierda por otros símbolos aplicando las reglas. El lenguaje al cual representa esta gramática es el conjunto de cadenas de símbolos que pueden ser generados de esta manera: en este caso, por ejemplo:

 A → bAc → bbAcc → bbbAccc -→ bbbdeccc.

El elemento en mayúsculas es el símbolo inicial. Los elementos en minúsculas son símbolos terminales. Las cadenas de la lengua son aquellas que solo contienen elementos terminales, como por ejemplo: bbbdeccc, de, bdec, … Estas serían tres posibles realizaciones del lenguaje cuya gramática hemos definido con dos reglas.

LENGUAJE FORMAL

En matemáticas, lógica, y las ciencias computacionales, un lenguaje formal es un conjunto de palabras (cadenas de caracteres) de longitud finita formadas a partir de un alfabeto (conjunto de caracteres) finito.

Informalmente, el término lenguaje formal se utiliza en muchos contextos (en las ciencias, en derecho, etc.) para referirse a un modo de expresión más cuidadoso y preciso que el habla cotidiana. Hasta finales de la década de 1990, el consenso general era que un lenguaje formal, en el sentido que trata este artículo, era en cierto modo la versión «límite» de este uso antes mencionado: un lenguaje tan formalizado que podía ser usado en forma escrita para describir métodos computacionales. Sin embargo, hoy en día, el punto de vista de que la naturaleza esencial de los lenguajes naturales (sin importar su grado de «formalidad» en el sentido informal antes descrito) difiere de manera importante de aquella de los verdaderos lenguajes formales (en el sentido estricto de este artículo) gana cada vez más adeptos.

Un posible alfabeto sería, digamos, {a, b}, y una cadena cualquiera sobre este alfabeto sería, por ejemplo, ababba. Un lenguaje sobre este alfabeto, que incluyera esta cadena, sería: el conjunto de todas las cadenas que contienen el mismo número de símbolos a que b, por ejemplo.

La palabra vacía (esto es, la cadena de longitud cero) es permitida y frecuentemente denotada mediante ε o λ. Mientras que el alfabeto es un conjunto finito y cada palabra tiene una longitud también finita, un lenguaje puede bien incluir un número infinito de palabras.

Algunos ejemplos varios de lenguajes formales:

    * el conjunto de todas las palabras sobre {a, b}
    * el conjunto {an: n es un número primo}
    * el conjunto de todos los programas sintácticamente válidos en un determinado lenguaje de programación
    * el conjunto de entradas para las cuales una particular máquina de Turing se detiene.

Los lenguajes formales pueden ser especificados en una amplia variedad de maneras, como:

    * cadenas producidas por una gramática formal (ver Jerarquía de Chomsky)
    * cadenas producidas por una expresión regular
    * cadenas aceptadas por un autómata, tal como una máquina de Turing

Varias operaciones pueden ser utilizadas para producir nuevos lenguajes a partir de otros dados. Supóngase que L1 y L2 son lenguajes sobre un alfabeto común. Entonces:

    * la concatenación L 1 L 2 consiste de todas aquellas palabras de la forma vw donde v es una palabra de L1 y w es una palabra de L2
    * la intersección L1&L2 consiste en todas aquellas palabras que están contenidas tanto en L1 como en L2
    * la unión L1|L2 consiste en todas aquellas palabras que están contenidas ya sea en L1 o en L2
    * el complemento ~L1 consiste en todas aquellas palabras producibles sobre el alfabeto de L1 que no están ya contenidas en L1
    * el cociente L1/L2 consiste de todas aquellas palabras v para las cuales existe una palabra w en L2 tales que vw se encuentra en L1
    * la estrella L1* consiste de todas aquellas palabras que pueden ser escritas de la forma W 1 W 2?…Wn donde todo Wi se encuentra en L1 y n ≥ 0. (Nótese que esta definición incluye a ε en cualquier L*)
    * la intercalación L1*L2 consiste de todas aquellas palabras que pueden ser escritas de la forma v1w1v2w2…vnwn; son palabras tales que la concatenación v1…vn está en L1, y la concatenación w1…wn está en L2

Una pregunta que se hace típicamente sobre un determinado lenguaje formal L es cuán difícil es decidir si incluye o no una determinada palabra v. Este tema es del dominio de la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional.

Por contraposición al lenguaje propio de los seres vivos y en especial el lenguaje humano, considerados lenguajes naturales, se denomina lenguaje formal a los lenguajes «artificiales» propios de las matemáticas o la informática, los lenguajes artificiales son llamados lenguajes formales (incluyendo lenguajes de programación). Sin embargo, el lenguaje humano tiene una característica que no se encuentra en los lenguajes de programación: la diversidad.

En 1956, Noam Chomsky creó la Jerarquía de Chomsky para organizar los distintos tipos de lenguaje formal.

Una manera formal de establecer un lenguaje es escribiendo las reglas que lo generan, de esta forma es mediante la definición de una gramática.

Definición. Una gramática es un cuarteto (V, ∑, p, S) donde:

De acuerdo a la forma de las reglas de producción se obtiene gramáticas de diferentes tipos. Las reglas de producción son las parejas en la relación y se utiliza E1→E2 para representar la regla (E1, E2) en p. La única condición que se le pide es que contenga por lo menos una variable en E1.

La longitud de una palabra es la cantidad de letras que la componen, así: E tiene longitud O, CASA tiene longitud 4, etc.

• Gramática tipo 0. Cualquier gramática que cumpla con la definición.
• Gramática tipo 1. En toda regla E1→ E2 la longitud de E1 es menor ó igual A la longitud E2
• Gramática tipo 2. En toda regla E1→ E2, E1 € V.
• Gramática tipo 3. En toda regla E1→ E2, E1 € V y E2 es un elemento de (∑*V υ ∑)