FUNCIONES
Sean X, Y conjuntos.
Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada ƒ(x) existe un solo elemento y ϵ Y.
||Finalmente:
| < x,y > ϵ ƒ | “La función ƒ es una relación de X a Y”. |
| ƒ(x) = y | “ƒ mapea de X a Y”. |
| ƒ: X → Y | “ƒ transforma X en Y”, donde: X es el dominio y Y es la imagen. |
Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X existe una yϵ Y , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.
Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función inversa,
ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x) = y
Aqui esta una grafica de una Funcion Inversa.
Este link es para que puedan observar una presentacion en powerpoint sobre Funciones.
click aqui para ver la presentacion
Alfaro Carbellido Ernesto Josue
5V1B
Concepto de función
El propósito principal de este capítulo es obtener una idea clara del concepto de función. Para ello se analiza el concepto de relación sobre la base del producto cartesiano y después se define una función como un caso especial de una relación. Después se estudia el concepto de función como una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Finalmente se clasifican e investigan las propiedades de algunas funciones que aparecen frecuentemente en cálculo.
Procederemos, conforme al esquema esbozado, por establecer de manera general los conceptos básicos que nos permitirán arribar a una definición formal de función.
3.1.1 Producto cartesiano
Definición 3.1 Par ordenado.
Sean a y b dos números, definimos el par ordenado formado por a y b por el conjunto
(a,b) = {ā, {a,b}}.
Observe que hemos denotado al par ordenado como (a,b). A primera vista la definición parece un poco oscura debido a que se tiene ya una noción previa, que es la de que cada número ocupa un lugar especial. Sin embargo, esta definición nos permite hacer la distinción entre el primer lugar y el segundo lugar de la pareja, también denominados coordenadas. Dicha conceptualización se demostrará en el teorema siguiente.
Teorema 3.1
(a,b) = (c,d) si y sólo si a = c y b = d.
Demostración:
Si a = c y b = d, entonces
(a,b) = {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}} = (c,d).
Si (a,b) = (c,d) , entonces {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}}. Existen dos posibilidades:
i) ā = {c} y {a,b} = {c,d}; ii) ā = {c,d} y {a,b} = {c}.
En el primer caso se tiene que a = c por lo que {a,b} = {a,d} y entonces b = d. En el segundo caso se tiene que a = c = d y entonces {a,b} = ā por lo que b = a.
@
Podemos ver que la definición cumple con el propósito deseado. Además, el concepto de par ordenado nos prepara el terreno para establecer otra manera de combinar dos conjuntos para formar un nuevo conjunto.
Definición 3.2 Producto cartesiano.
Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el conjunto de todas las parejas ordenadas
A x B = {(a,b): a está en A y b está en B}.
Observe que hemos utilizado la notación A x B para denotar el conjunto y se lee “A cruz B”. En general si A tiene m elementos y B tiene n elementos, entonces A x B tiene mn elementos. En el caso de que tomemos el producto cartesiano de un conjunto A por si mismo usamos la notación A2.
Ejemplo 3.1 Plano cartesiano.
Si X representa el conjunto de todos los números reales sobre el ejex y Y representa el conjunto de todos los números reales sobre el ejey, entonces X x Y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales (x,y). En matemático francés René Descartes usó un sistema de coordenadas rectangulares y en su honor a dicho sistema le llamamos plano cartesiano. Dado que los conjuntos X, Y se pueden representar geométricamente por rectas numéricas, el ejex corresponde a la recta horizontal y sobre ella representamos la abscisa o valor x; el ejey corresponde a la recta vertical y sobre ella escribimos la ordenado o valor y. A esta representación geométrica le denominamos plano XY. También acostumbramos decir que el plano cartesiano es la representación del conjunto R2.
Y
|
|………(x,y)
| .
| .
>
| X
|
|
|
|
Definición 3.3 Relaciones.
Sean A y B conjuntos. Una relación entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B.
La definición implica que una relación es un conjunto de pares ordenados y es un subconjunto de A x B y que a en A está relacionado con b en B si y sólo si (a,b) está en dicho subconjunto. El dominio de la relación es el conjunto de todos los primeros elementos de las parejas ordenadas en la relación. La imagen de una relación es el conjunto de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas en la relación.
El concepto de relación así definido es de gran utilidad porque lo podemos visualizar al hacer sus gráficas en el plano cartesiano. Cualquier relación que bosquejemos en el plano XY tiene un dominio D y una imagen I que son subconjuntos de números reales.
Ejemplo 3.2 Grafique en el plano cartesiano las relaciones:
i) {(x,y): x>3},
ii) {(x,y): y = x2},
iii) {x2 + y2 < 25} e indique en cada caso el dominio e imagen.
i) D = R
I = R
ii) D = R
I = [0,oo)
iii) D = (5, 5)
I = (5, 5)
Es importante darnos cuenta de que en el concepto de relación se tienen tres partes esenciales: el conjunto dominio D, el conjunto imagen I y alguna manera en que podamos determinar cuáles parejas ordenadas están en la relación, que en el ejemplo anterior se dieron por proposiciones abiertas de la forma P(x,y). Un tipo particular de relaciones son los conjuntos de puntos en R2 de la forma
{(x,y): f(x,y) = c}.
La ecuación f(x,y) = c se dice que es una ecuación implícita y dado un número real x puede haber uno o más números y tales que f(x,y) = c. Si la pareja ordenada (xo,yo) está en la relación, decimos que es una solución de la ecuación f(x,y) = c. Al graficar el conjunto en el plano cartesiano estamos representando todas las soluciones de la ecuación.
Se pueden establecer algunas características de las gráficas de tipo general y que nos auxiliarán para poder dibujarlas. Además, las mismas características son aplicables al caso de funciones y su representación gráfica. Todo esto apoya el análisis de funciones que se verá en capítulos posteriores.
Intersecciones. Las intersecciones con el ejey de la ecuación f(x,y) = c se obtienen al hacer x = 0 y resolver f(0,y) = c. Análogamente, obtenemos las intersecciones con el ejex al hacer y = 0 y resolver f(x,y) = c.
Extensión. Es la región del plano cartesiano donde la gráfica de la ecuación está confinada. El dominio e imagen de la relación nos permite delimitar dicha región.
Simetría. Un conjunto de puntos en la relación, es simétrico con respecto al ejex, si para cualquier punto (x,y) en la relación, (x,y) también está en la relación. Análogamente, tenemos simetría con respecto al ejey si, para cualquier punto (x,y) en la relación, (x,y) también está en la relación. Una relación tiene simetría con respecto al origen si y sólo si, para cualquier punto (x,y) en la relación, (x,y) está en la relación.
Ejemplo 3.3 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibuje la gráfica de la ecuación 4×2 + 25y2 = 100.
Para encontrar la intersección con el ejey hacemos x = 0 en la ecuación y resolvemos para y:
25y2 = 100 <=> y = 2 ó y = 2;
Análogamente las intersecciones con el ejex. Tenemos que
4×2 = 100 <=> x = 5 ó x = 5.
Supongamos que (x,y) es un punto de la gráfica y resolvamos la ecuación para la variable x,
x = + 5/2 4 y2
Y como x es un número real, es necesario que y2 < 4; lo cual implica que 2<y<2. Análogamente, resolvemos la ecuación para la variable y. Encontramos que y es un número real si y sólo si se tiene que 5<x<5. Hemos encontrado la imagen y el dominio de la relación y. por lo tanto, la extensión de la gráfica es la región del plano XY definida por el conjunto
R = {(x,y): 5<x<5; 2<y<2}.
Tenemos simetría con respecto al ejex y simetría con respecto al ejey, ya que si (x,y) es solución de la ecuación, entonces (x,y) y (x,y) son también soluciones:
4(x)2 + 25y2 = 4×2 + 25(y)2 = 4×2 + 25y2 = 100
Por supuesto, también tenemos simetría con respecto al origen. Combinamos ahora los resultados obtenidos para las intersecciones, la extensión y la simetría para obtener la gráfica de la ecuación que ilustramos en el primer cuadrante del plano cartesiano. El resto de la gráfica puede encontrarse por reflexión:
3.1.2 Función
En la observación de los fenómenos que ocurren en la naturaleza, en muchos casos, el hombre ha podido sintetizar su conocimiento en leyes físicas. Estas leyes indican cómo están relacionadas las diversas magnitudes que caracterizan el fenómeno y cómo la magnitud de alguna de ellas está completamente determinada por los valores de las otras. Por ejemplo: el volumen de un gas a temperatura constante está determinado por la presión; la dilatación de una barra metálica está determinada por la temperatura; la corriente a través de una resistencia está determinada por el voltaje aplicado, etc. Los ejemplos anteriores pueden expresarse por medio de fórmulas o reglas que permiten relacionar una magnitud física con otra. El punto importante a considerar aquí es que para cada valor de una magnitud física x, queda determinado un único valor de la magnitud física y, por la fórmula o regla respectiva. La palabra único, en el sentido del fenómeno físico, significa que bajo las mismas condiciones de observación y valor de x obtendremos el mismo valor y.
Aunque los anteriores son ejemplos específicos del concepto de función, la esencia de éste está en cada uno de ellos. Trataremos ahora de formalizar las ideas subyacentes. Observe que hemos empleado los términos “relacionados”, “valores”, “reglas” y “único”; por lo tanto de nuestra formalización del concepto de función se deben desprender claramente el significado de dichos términos.
Definición 3.4 Función.
Sean A y B conjuntos. Una función f es una relación en el producto cartesiano A x B tal que si (x,y) está en f y (x,z) está en f, entonces y = z.
Observe que la condición garantiza que un elemento x en A no puede tener asociado más de un elemento de B. Es frecuente que se utilicen otras notaciones para una función f; la más común es f : A > B.
Veamos como trabaja la función f mediante el esquema siguiente:
| |
x>| f | ›y
| |
Sea (x,y) en f. Entramos a la caja con la primera coordenada de la pareja ordenada y obtenemos a la salida la segunda coordenada. Es costumbre denotar a y por f(x) que se lee “f de x” y denominamos el valor de la función en x o imagen de x. Nos referimos a f(x) como un símbolo en la notación funcional, con x como el argumento.
Por supuesto, no podemos alimentar a la caja más que aquellos elementos x que son las primeras coordenadas de los elementos de f.
Definición 3.5 Dominio e Imagen.
Dom f = {x: para alguna y, (x,y) está en f}.
Im f = {y: para alguna x, (x,y) está en f}.
En el caso particular de que cada elemento de A aparezca como primera coordenada de un par ordenado de la función f, esto es, Dom f = A, decimos que tenemos una función completa.
Como la definición no requiere que todo elemento de B sea imagen de un elemento de A, se tiene que Im f es un subconjunto de B.
Hasta este punto las definiciones anteriores no especifican la naturaleza de los conjuntos A y B; pero, en lo sucesivo vamos a considerarlos como subconjuntos de R, en cuyo caso decimos que nuestra área de estudio es el análisis real y en particular en este punto las funciones reales de variable real o sea conjuntos de pares ordenados de números reales y, por lo tanto, pueden considerarse como un conjunto de puntos en R x R o R2. Por la propia definición de función, estos conjuntos tienen la propiedad de intersecar una sola vez a cada recta vertical. Debemos recordar este punto, sobre todo cuando analicemos la representación geométrica de las funciones.
Definición 3.6 Gráfica de f : R > R.
La gráfica de f es el conjunto de pares ordenados de f considerados como un subconjunto de R2.
En notación funcional la definición anterior nos lleva a la siguiente conclusión: La gráfica de la función f en el plano XY, es la gráfica de la ecuación y = f(x). Frecuentemente usamos la terminología “y es función de x”, donde x es la variable independiente y la variable dependiente es y.
Ya que nuestra definición deja establecido que una función es un caso particular de relación, la discusión con respecto a la intersección, extensión, simetría y dibujo de gráficas de funciones de la sección anterior se aplica íntegramente. En este caso denotamos el conjunto de puntos en el plano cartesiano como
{(x,y): y = f(x)}.
Con respecto a la simetría es conveniente introducir una nomenclatura para cierto tipo de funciones. La simetría con respecto al ejey requiere que si (x,f(x)) está en f, entonces como (x,f(x)) = (x,f(x)) también está en f. Esto es, para cada x en Dom f, es necesario que x esté en Dom f y que f(x) = f(x). Las funciones que tienen esta propiedad les llamamos funciones pares. Si una función tiene la propiedad de que para toda x en Dom f también x está en Dom f, y se cumple f(x) = f(x), entonces decimos que la función es impar. Note que si (x,f(x)) está en f, entonces (x,f(x)) = (x,f(x)) está en f. Es decir, si f es una función impar, su gráfica tiene simetría con respecto al origen.
Ejemplo 3.4 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibuje la gráfica de la función f(x) = 2×2 + 5.
Para hacer un análisis similar al del ejemplo 3.3, usemos la notación y = f(x). De esta manera tenemos la ecuación
y = 2×2 + 5.
La intersección con el ejey la obtenemos fácilmente. Sí x=0, entonces y = 5. Análogamente, si y=0 entonces intentamos resolver
0 = x2 + 5;
pero, no existen soluciones reales para esta ecuación; por lo tanto, no hay intersecciones con el ejex.
La extensión se obtiene al analizar el dominio e imagen de la función. Al analizar la ecuación y = f(x) vemos que no existe ninguna restricción para tener una función completa en los reales, es decir Dom f = R. Sobre esta base intentamos obtener la imagen de la función. Para ello despejamos la variable x de la ecuación:
x = + (y 5)/2,
y observamos que para que x sea un número real es necesario que y>5; esto es, Im f = [5,oo). O sea la extensión de la gráfica esta determinada por la región
R = {(x,y): oo<x<oo, 5<y<oo}.
En este caso tenemos simetría con respecto al ejey, puesto que si (x,y) es solución de la ecuación, entonces (x,y) también es solución:
y = 2(x)2 + 5 = 2×2 + 5.
No hay simetría con respecto al ejex; como era de esperarse después de analizar las intersecciones. Por supuesto no hay simetría con respecto al origen. Sin embargo, con la información anterior es suficiente para bosquejar la gráfica. Como tenemos el dominio e imagen de la función, es suficiente con calcular los valores de la función el algunos puntos x para trazar la figura:
x | 2 | 1 | 0 | +1 | +2 |
f(x)| 9 | 7 | 5 | 7 | 9 |
Ejercicios:
1. Obtenga el dominio e imagen de las relaciones siguientes:
1.1 {(3,1), (2,5), (0,1), (1,2), (3, 1)}
1.2 {(2,5), (3,5), (0,5)}
1.3 {(x,y): y = x2 1}
1.4 {(x,y): x < 5 }
1.5 {(x.y): x2 + y2 = 9}
1.6 {(x,y): y = 3x + 7}
1.7 {(x,y): y > x}
1.8 {(x,y): y = 1}
1.9 {(x,y): x = 6}
1.10 {(x,y): y = 1/x} (Considere las relaciones 1.2 a 1.9 en R x R ).
2. Indique cuáles de las relaciones del ejercicio 1 son funciones y explique por qué.
3. Discuta las intersecciones, extensión, simetría y bosqueje la gráfica de las relaciones 1.3, 1.5, 1.6 y 1.10 del ejercicio 1.
4. Dada la función real f de variable real, f(x) = x3 1, encuentre:
i) f(0) ii) f(1) iii) f(1) iv) f(t) v) f(s2).
5. Encontrar Dom f, Im f y trazar la gráfica de la función:
f = {(x,y): y = f(x); con x,y en R}.
5.1 y = 2x 5
5.2 y = x2 8
1 si x < 2
5.3 y =
1 si x > 2
3.2 Tipos de funciones
3.2.1 Funciones especiales
Vamos a dar como ejemplos las definiciones de algunas funciones reales de variable real que aparecen con mucha frecuencia y a las que asignamos símbolos especiales.
Ejemplo 3.5 Función idéntica.
La función idéntica, denotada por I, es la función con dominio R y regla de correspondencia I(x) = x.
En esta función tenemos que Im f = R. La gráfica es una recta de pendiente uno que pasa por el origen:
{(x,x): x está en R}.
Ejemplo 3.6 Función constante.
La función constante tiene dominio R y su Im f = {c}.
Podemos escribir como regla de correspondencia f(x) = c, en tal caso denotamos a la propia función por c. Como un conjunto de pares ordenados tenemos {(x,c): x está en R} y su gráfica es una recta horizontal donde y = c es la intersección con el ejey.
Ejemplo 3.7 Función valor absoluto.
La función valor absoluto, denotada por | |, es la función con dominio R y regla de correspondencia
f(x) = |x|, x en R.
Esta función y algunas de sus propiedades se estudiaron en el capítulo 2. Observe que Im | | son los números reales no negativos, esto es Im | | = [0,oo).
Ejemplo 3.8 Función escalón unitario.
La función escalón unitario, denotada por U, es la función con dominio R y regla de correspondencia
0, si t < 0
U(t) =
1, si t > 0.
En este caso Im U = {0,1} y su gráfica se ilustra en la figura:
Ejemplo 3.9 Función parte entera.
La función parte entera, denotada por [ ], es la función con dominio R y con regla de correspondencia
[x] = n, si n<x<n+1, donde n está en Z.
De acuerdo a la definición Im [ ] = Z. Podemos ver que [x] es el máximo entero no mayor que x. Ilustramos la gráfica a continuación:
Ejemplo 3.10 Función raíz cuadrada.
La función raíz cuadrada, denotada por \/ , es la función con dominio el conjunto de los números reales no negativos [0,oo) y con regla de correspondencia
\/x = y si y>0 y y2 = x.
En este caso Im\/ es también el conjunto de números reales no negativos. Su gráfica corresponde al conjunto de pares ordenados
{(y,y2): y > 0}.
De acuerdo a los ejemplos de las funciones anteriores, hacemos resaltar que, en cada caso, hemos especificado el dominio de la función y su regla de correspondencia y que la imagen de la función puede entonces determinarse. A menudo, por razones de brevedad y costumbre, se definen las funciones especificando únicamente su regla de correspondencia, en cuyo caso deberá entenderse claramente que el dominio de la función consiste en el subconjunto de R para los cuales puede tener significado aplicar la regla de correspondencia. Más aún, cuando nos interesa graficar la función, debemos determinar su dominio e imagen antes que ninguna otra cosa.
Ejemplo 3.11 Encontrar el dominio e imagen de las funciones:
i) g(t) = \/ x2 x 6
ii) f(x) = (9×2 1)/(3x + 1)
x + 4 si x<1
iii) h(x) =
8 si x>1
De acuerdo a las observaciones sobre el dominio e imagen de una función cuando se especifica sólo la regla de correspondencia tenemos:
i) De acuerdo con la definición de la función raíz cuadrada, el dominio de g consiste de todos los números para los cuales
x2 x 6 = (x 3)(x+2) > 0.
La desigualdad se cumple cuando uno de los siguientes casos ocurra:
Caso 1. x 3 > 0 y x + 2 > 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo [3,oo), o Caso 2. x 3 < 0 y x + 2 < 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo (oo,2].
Combinando los resultados tenemos que el dominio de g consta de dos intervalos (oo,2] y [3,oo) y se dice que tenemos una función de dos ramas. La imagen de g es el intervalo [0,oo).
ii) Para la función f podemos considerar como dominio R con excepción del punto x = 1/3, porque en este caso el valor de la función f(x) no está definido como un número real. Para los demás puntos en el dominio, observemos que f(x)>0 para x>0, f(x)>0 para x<0 y f(x)=1 si x=0; por lo tanto la imagen de f es el intervalo [1,oo).
iii) De la regla de correspondencia está claro que el dominio de la función son todos los números reales R. En este caso no hay dificultad para graficar la función h, que se ilustra a continuación:
De donde se concluye claramente que la imagen de la función es el complemento del intervalo [5,8) en los reales.
3.2.2 Clases de funciones
Una función, vimos ya, es una relación; pero, el recíproco no es siempre verdadero, es decir, no toda relación es una función. Es interesante investigar este punto por su aplicación posterior.
Definición 3.7 Relación inversa.
Sea S una relación, entonces la inversa de S, denotada por S*, está definida como
S* = {(x,y): (y,x) está en S}.
Supongamos ahora que f es una función y que los pares ordenados (x,y) y (x,z) ambos pertenecen a la relación inversa f*. Para que f* sea una función es necesario que y=z. Podemos trasladar esta condición a la función f: para toda (y,x) y (z,x) ambos en f debe cumplirse que y=z; o, en otras palabras, si f(y) = f(z), entonces y=z. Podemos formalizar esta idea mediante la siguiente definición:
Definición 3.8 Función inyectiva.
Una función se denomina inyectiva si f(x1)=f(x2) implica x1=x2.
Las funciones inyectivas son aquellas en que dos pares ordenados distintos de la función no tienen el mismo segundo elemento.
Definición 3.9 Función inversa.
Si f es inyectiva, la función {(f(x),x): x en el Dom f} se denomina inversa de f y se denota por f*.
La definición nos indica que para obtener f* debemos intercambiar el primero y el segundo elemento de cada par ordenado de la función f. Es claro que Dom f* = Im f y que Im f* = Dom f. Si f es inyectiva, entonces (f*)* = f es una función, así que f* es también inyectiva.
En la sección anterior dimos la definición formal del concepto de función y enfatizamos que una regla de correspondencia no puede considerarse función a menos que especifiquemos el dominio. También mencionamos que cuando se trabaja en base a dos conjuntos dados A y B con notación f: A>B se requiere que A = Dom f para que tengamos una función completa. Este es un camino alternativo para manejar el concepto de función. Sin embargo, nuestra definición no sólo es más general sino que, por ejemplo, nos conduce a una visualización más clara del concepto de gráfica, entre otras aplicaciones.
Dados dos conjuntos A, B y la función completa f: A>B; en varias ocasiones se requiere analizar la función en algún subconjunto E del dominio de la función; es decir E C Dom f. Por supuesto tenemos otra función a la que denominamos función parcial o función restringida a E. Usamos la notación f|E para dicha función y al conjunto de las imágenes lo denotamos por f(E) y le llamamos imagen de E.
Si f: A>B es una función completa, le denominamos suprayectiva si Im f = B; es decir si para toda b en B existe a en A tal que f(a) = b. Una función se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo 3.12
i) Sea f: R>R y f(x) = x2. Tenemos que f no es inyectiva puesto que f(1) = f(1); Tampoco es suprayectiva ya que f(x)>0 para toda x en R, o sea que ningún elemento negativo está en Im f. Sin embargo, si tomamos E = [0,oo) y definimos la función restringida f|E con la misma regla de correspondencia, entonces tenemos que f(E) = [0,oo). Ahora, es claro que la función es biyectiva.
Ejercicios:
1. En cada uno de los casos considere que la función es real de variable real. Encuentre el dominio, la imagen y bosqueje la gráfica analizando las intersecciones, extensión y simetría.
1.1 f(x) = x3 1
1.2 F(x) = |x + 7|
1.3 g(s) = (s2 16)/(s + 4)
1.4 G(t) = \/2 x2
3x + 5 sí x < 4
1.5 h(x) =
2 5x sí x > 4
1.6 H(x) = [2x + 1]
1.7 f(x) = [x2]
2. Clasifique como inyectivas, suprayectivas o biyectivas las funciones de los ejemplos 3.5 al 3.10.
3.3 Operaciones de funciones
Una operación & sobre un conjunto dado S, tal que se realiza sobre dos de sus elementos se denomina binaria; y a un par (S,&) que consiste de un conjunto no vaco y al menos una operación binaria le llamamos sistema. En el capítulo anterior trabajamos con el sistema de números reales (R,+,.). Nuestra intención en esta sección es construir los sistemas que nos permitan operar con funciones.
A partir de este punto vamos a utilizar la notación funcional porque resulta más sugerente al definir las operaciones con respecto al caso de operaciones con los números reales. Sin embargo, debemos poner especial atención a las definiciones ya que no todas las propiedades de éstos son aplicables al caso de las funciones.
Conviene señalar lo que entendemos por igualdad de dos funciones. Si f = g, entonces f y g tienen el mismo dominio y regla de correspondencia f(x) = g(x) para toda x en el dominio.
Definición 3.7 Suma y producto de funciones.
Si f y g son funciones reales con dominios Domf y Domg respectivamente, entonces la suma f + g y el producto fg son funciones con dominio Domf Domg y reglas de correspondencia:
[f + g](x) = f(x) + g(x),
[fg](x) = f(x).g(x) .
Es decir la imagen de f + g es la suma de las imágenes de f y g; y la imagen de fg es el producto de las imágenes. Cuando sea conveniente omitimos el símbolo de multiplicación.
Sea F el conjunto de todas las funciones reales de variable real, es decir, F = { f: f:R>R } y consideremos las operaciones de suma y producto de la definición anterior. Nos preguntamos por las propiedades del sistema (f, +, .).
Teorema 3.2 Propiedades de la suma y producto de funciones.
i) Propiedad de Cerradura.
Si f y g están en F entonces f + g y fg están en F.
ii) Propiedad de Conmutatividad.
Si f y g están en F entonces f + g = g + f y fg = gf.
iii) Propiedad de Asociatividad.
Si f, g y h están en F entonces f+(g+h)=(f+g)+h y f(gh)=(fg)h.
iv) Propiedad de Distributividad.
Si f, g y h están en F entonces f(g + h) = fg + fh.
v) Propiedad de Elementos Neutros.
F contiene dos funciones distintas 0 y 1 tales que f + 0 = f y f1 = f para cualquier f en F.
Las operaciones de suma y producto de elementos de F tiene todas las propiedades postuladas para las operaciones correspondientes de números reales con la excepción del axioma de elementos inversos. Esto es claro si observamos que para una función f cuyo dominio no sea todo R entonces no existe ninguna función g tal que f + g = 0 o fg = 1, ya que las funciones constantes 0 y 1 tienen dominio R, pero el dominio de la suma y producto puede no ser R. Sin embargo, podemos formar las funciones restringidas a un dominio que sea subconjunto de R.
Definición 3.8 Inversos restringidos.
Si f está en F, entonces f es la función con el mismo dominio Dom f y regla de correspondencia
[f](x) = f(x)
Si f está en F, entonces 1/f es la función con dominio los elementos en Dom f tales que f(x)0 y regla de correspondencia
[1/f] = 1/f(x).
Definición 3.9 Diferencia y cociente de funciones.
Si f y g están en F, entonces f g = f + (g).
Si f y g están en F, entonces f/g = f. 1/g .
Cuando fijamos el dominio o trabajamos con funciones restringidas a un dominio fijo el sistema (F, +, .) son estructuras denominadas grupos, con respecto a cada una de las operaciones.
La suma y el producto de cualquier número finito de funciones,
f1+f2+…+fn
y
f1f2…fn
está bien definida en base a la propiedad asociativa. En caso de que todas las funciones sean iguales podemos representar el producto por fn. Si, además, definimos
f0 = 1 y fn = 1 /fn, f(x)0
donde n>0, entonces la fórmula
fnfm = fn+m
es válida para todos los enteros n y m en el dominio correspondiente.
Ejemplo 3.12 Función polinomial.
Una función polinomial, o simplemente polinomio, es una función con dominio R y regla de correspondencia
p(x) = anxn + …+ a2×2 + a1x + a0
donde n es un entero no negativo y a0, a1,…, an están en R (an0). Decimos que n es el grado del polinomio.
Si el grado de una función polinomial es 1, entonces la función se llama función lineal. La función lineal general está definida por
f(x) = mx + b
Donde m y b son constantes y m0. La gráfica de esta función es una línea recta que tiene pendiente m y ordenada al origen b. Si el grado de la función polinomial es 2, la función se llama cuadrática; y si el grado es 3, la función se denomina cúbica, etc.
Si una función se puede expresar como el cociente de dos funciones polinomiales, la función se llama función racional. La clase de las funciones racionales es el conjunto de todas las funciones que se pueden construir a partir de la función idéntica y la función constante y que usan las operaciones de suma, producto, diferencia y cociente que hemos definido en esta sección.
Ejemplo 3.13 Determine el dominio y la regla de correspondencia de f+g, fg, gf, fg, f/g y g/f, si
i) f(x) = x3 8,
ii) g(x) = 2x 1.
Observemos que f es un polinomio de grado 3 y g es un polinomio de grado 1; por lo tanto, podemos considerar como dominio de cada una de ellas a R. Tenemos que:
[f + g](x) = f(x) + g(x) = x3 + 2x 9;
[f g](x) = f(x) g(x) = x3 2x 7;
[g f](x) = g(x) f(x) = x3 + 2x + 7;
[fg](x) = f(x)g(x) = 2×4 x3 8x + 8.
En estos cuatro casos el dominio de la función resultante es R. Observe que sumas, productos y diferencias de polinomios son a su vez polinomios. Ahora, tenemos las funciones
[f/g](x) = f(x)/g(x) = (x3 8)/(2x 1);
[g/f](x) = g(x)/f(x) = (2x 1)/(x3 8).
En estos casos decimos que las funciones son racionales y para f/g debemos excluir del dominio el punto x=1/2, en tanto que para g/f excluimos el punto x=2.
Además de las operaciones anteriores, tenemos otra operación que, a veces, se considera como otra multiplicación de funciones.
Definición 3.10 Composición de funciones.
Si f y g son funciones reales, la composición de f con g, denotada por fog, es una función cuyo dominio son todos los números x en Domg tales que g(x) está en Domf y con la siguiente regla de correspondencia
[fog](x) = f(g(x)).
Las propiedades fundamentales de la operación composición se dan a continuación.
Teorema 3.3 Propiedades de la composición de funciones.
i) Propiedad de Cerradura.
Si f y g están en F entonces fog está en F.
ii) Propiedad de No Conmutatividad.
La composición no es conmutativa.
iii)Propiedad de Asociatividad.
Si f, g y h están en F entonces (fog)oh = fo(goh).
iv) Propiedad de Elemento Neutro.
F contiene una función, denotado por I, tal que foI = Iof = f para toda f en F.
v) Propiedad de Distributividad.
Si f, g y h están en F, entonces
(f+g)oh = foh + goh y (fg)oh = (foh)(goh).
Observe que en este caso tampoco existe la propiedad del elemento inverso. Es decir, no toda función en F tiene inverso respecto a la operación composición. Sin embargo, una cierta clase de funciones, las funciones biyectivas para dos conjuntos dados en F, que habamos visto en la sección anterior, tienen inversa f*; y pueden considerarse como el inverso de f con respecto a composición como veremos en la siguiente sección.
Ejemplo 3.14 Determine el dominio y la regla de correspondencia de fog y gof, si
i) f(x) = x2 4
ii) g(x) = \/x
El dominio de f lo podemos tomar como R, en tanto que el dominio de g es [0,oo). Tenemos que
[fog](x) = f(g(x)) = f(\/x) = (\/x)2 4 = x 4;
[gof](x) = g(f(x)) = g(x2 4) = \/x2 4.
El dominio de fog es el conjunto de elementos x en Domg tales que su imagen g(x) está en Domf, en este caso [0,oo). Para la función gof el dominio es el conjunto de números reales para los cuales x2 4 >0 o sea los números que no pertenecen al intervalo (2,2).
A lo largo de este capítulo y del resto del curso se estará trabajando con una amplia gama de funciones. Pero, queremos indicar aquí, que todas ellas se pueden clasificar como funciones elementales y tienen dos subdivisiones principales que denominamos algebraicas y trascendentes. Este punto frecuentemente se soslaya porque su formalización rigurosa requiere de algunos conceptos sofisticados. Sin embargo, conviene poner en claro la distinción entre unas y otras.
Definición. Función algebraica.
Si A es el conjunto de números algebraicos en R, una función real de variable real se llama algebraica sí f(A) C A.
En particular los conjuntos las funciones polinomiales y las racionales son subconjuntos del conjunto de funciones algebraicas.
Las funciones elementales que no son algebraicas se denominan funciones trascendentes. Entre éstas se encuentran las funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponencial y logaritmo que se verán con detalle en capítulos posteriores.
Ejercicios:
1. Determine el dominio y la regla de correspondencia de:
f+g, fg, f/g, g/f, fog y gof.
1.1 f(x) = 2x 1; g(x) = x + 10.
1.2 f(x) = 3 3x; g(x) = \/x2 + 3.
1.3 f(x) = x2 7x + 6; g(x) = x2 2x 15.
1.4 f(x) = (x3 1); g(x) = 1/x.
1.5 f(x) = (x2)/x2 g(x) = (x + 3)/x3.
2. Demuestre el Teorema 3.2.
3. Demuestre el Teorema 3.3.
4. La función In con dominio R y regla de correspondencia In(x)=xn donde n es un entero positivo impar es biyectiva y por lo tanto tiene inversa que denotamos por I1/n, tiene dominio R y regla de correspondencia I1/n(x) = \/x. Restrinja el dominio de In y encuentre la inversa en el caso de que n sea un entero positivo par.
3.4 Función inversa
Dados dos conjuntos A y B, la función f* es la inversa de f con respecto a la operación composición si es biyectiva y se cumple que:
f*of = I para toda x en A; y
fof* = I para toda x en B.
Para cualquier x en A = Dom f tenemos que
[f*of](x) = f*(f(x)) = x = I(x),
Que prueba la primera proposición. Para cualquier x en B = Domf* tenemos que
[fof*](x) = f(f*(x)) = f**(f*(x)) = x = I(x),
Donde usamos que f** = f. Las propiedades anteriores de f* justifican que le llamemos el inverso de f con respecto a composición. En algunos casos se utiliza la notación f1 para la función inversa; pero debemos ser cuidadosos de que en éstos se refiere a la composición de funciones.
Si f es una función biyectiva
f = {(x,y): y = f(x), x está en Dom f};
descrita por la fórmula y= f(x), entonces
f*(y) = f*(f(x)) = x;
es decir, podemos determinar f* resolviendo la fórmula para x, y así obtener la regla de correspondencia para f*.
Ejemplo 3.15 Si f y g son funciones descritas por las reglas de correspondencia:
f(x) = 2x 3, y g(x) = \/x + 5;
determine las funciones inversas f* y g*.
Sea y = f(x) si tomamos como Domf = R, entonces Imf=R; y la función f es biyectiva, por lo tanto tiene inversa. De la fórmula
y = 2x 3,
despejamos la variable x para obtener
x= (y + 3)/2
de donde
f*(y) = (y + 3)/2
y Domf* = Imf = R. Cambiamos ahora el nombre de la variable y por x y escribimos
f*(x) = (x + 3)/2.
Comprobamos ahora que fof* = I y f*of = I,
f(f*(x)) = f((x +3)/2) = 2((x + 3)/2) 3 = x + 3 3 = x;
f*(f(x)) = f*(2x 3) = [(2x 3) + 3]/2 = 2x/2 = x.
Procedemos de manera análoga con la función g. Si tomamos como Domg = [5,oo), entonces Img = [0,oo) y en este caso la función g es biyectiva. De la fórmula
y = \/x + 5
despejamos la variable x, tomamos g*(y) = x e intercambiamos los nombres de las variables para obtener
g*(x) = x2 5
y Domg* = Img = [5,oo). Además, comprobamos que
g(g*(x)) = \/(x2 5) + 5 = x;
g*(g(x)) = (\/x + 5)2 5 = x.
Vimos antes cómo se puede elaborar la gráfica de una función real de variable real. En general podemos construir la gráfica de la función inversa f* a partir de la gráfica de la función f. Si consideramos a f como un conjuntos de pares ordenados (x,y) tal que y = f(x), tenemos
f = {(x,f(x)): x en Dom f};
entonces f* es el conjunto de pares ordenados
f* = {(f(x),x): x en Dom f}.
Por supuesto que Dom f* = Im f. Este último conjunto de puntos (f(x),x) es la imagen refleja de los puntos (x,f(x)) con respecto a la recta
{(x,x):x en R}
que no sino la gráfica de la función idéntica. Esta propiedad geométrica de la gráfica de la función inversa representa simplemente que fof* = f*of = I.
Ejemplo 3.16 A partir de la gráfica de f obtenga la gráfica de su inversa, si f(x) = x3.
La función f es un polinomio de grado 3, de manera que podemos tomar como dominio R. La imagen de la función es también R. Claramente la función es biyectiva y en consecuencia tiene inversa:
f*(x) = x1/3.
Tenemos que f es una función impar, es decir simétrica con respecto al origen; su extensión es la región determinada por los cuadrantes primero y tercero; pero es suficiente con que la dibujemos en el primer cuadrante. Después reflejamos la gráfica con respecto a la recta y = x y obtenemos la gráfica de f*:
Ejercicios:
1. Determine, si existe, la inversa de las funciones que se indican, especificando el dominio de cada una de ellas.
1.1 f(x) = 1/(x2 + 1)
1.2 f(x) = \/x2 + 2x
1.3 f(x) = x3 + 5
2. Construya la gráfica de la inversa a partir de la gráfica de la función dada en el ejercicio 1.