Función recíproca
Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una
función recíproca o inversa, denotada f −1.
Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.
Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I.
Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de f entonces f es la recíproca de g.
imagen:Función_recíproca.png
En el ejemplo, I = [ −6; 2 ] y J = [ −6 ; 6 ].
[editar] Propiedades
[editar] Propiedades analíticas
* Al componer f con g, se obtiene la función identidad: f \circ g=id_j, y g \circ f = id_i. Es otra definición posible
de la función recíproca, y se suele representar por el esquema siguiente:
imagen:Función_reciproca_esquema.png
* f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es
posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
* Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
* f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
* Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g’(y)· f’(x) = 1. La derivada de g se
obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).
[editar] Propiedades geométricas
* Los codos que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x.
En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M’(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
* Las tangentes en M y M’ tienen pendientes (coeficientes directores) inversos.Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g’(y)· f ‘(x) = 1.
