Función exponencial
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En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma
F(x)=K \cdot a^x
siendo a y k reales.
La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.
Esta función se nota exp: R → R+*
x \mapsto e^x = \exp(x)
donde e es la base de los logaritmos naturales.
y = exp x <=> x = ln y (con y >0)
La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (−1, 0).
Tabla de contenidos [ocultar]
* 1 Propiedades
* 2 Derivada
* 3 Definición formal
* 4 Enlaces externos
[editar] Propiedades Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta). Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta).
Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Llamamos (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.
* La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
* La exponencial transforma una suma en una constante
e^{a+b} = e^a \cdot e^b
* e^{-a} = {1 \over e^a}
* e^{a - b} = {e^a \over e^b}
* su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞
* La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:
e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t.
Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:
e^{a+bi} = e^ā\cdot(\cos b + i \mbox{sen } b)
Tenemos entonces de los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.
