Una forma cuadrática es una aplicación ω del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes: a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que ω(x) = f(x,x). A f se le llama forma polar de ω. b) ω(lx) = l2x, . Además f(x,y) = (ω(x + y) − ω(x) − ω(y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A ω se la llama forma cuadrática asociada a f. Cuando se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas. Formas cuadráticas Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos xT=(x1,x2,x3) que satisface una ecuación del tipo: xTAx=r, (1) donde A es una matriz simétrica de 3×3 a coeficientes reales y r es un número real. Vía una rotación del espacio dada por y=PTx donde yT=(y1,y2,y3) y P es una matriz unitaria de 3×3 a coeficientes reales, se puede expresar una forma cuadrática arbitraria con respecto a un vector y de manera que: yTDy=r, (2) donde D es una matriz diagonal de 3×3 a coeficientes reales. ¿Porqué siempre pueden encontrarse P y D con las propiedades requeridas? ¿Porqué P representa una rotación del espacio? Vía un re-escalamiento adicional dado por z=D’y donde zT=(z1,z2,z3) y D’ es una matriz diagonal de 3×3 a coeficientes reales no-negativos, se puede expresar la última ecuación obtenida con respecto el vector z de manera que quede representada por una ecuación del tipo: zTJz=r, (3) donde J es una matriz diagonal de 3×3 que sólo puede contener en su diagonal valores que están en {−1,0,1}. ¿Porqué siempre puede hacerse esta nueva nueva transformación?
HECTOR MANUEL RIOS CANELA 3101 ITSLR.
