NOTAS DEL LIBRO DEL PROFESOR LOMELI
FALTA EDITAR
8. Análisis de funciones.
8.1 Teorema de Rolle y del valor medio
Como sabemos, el cálculo es una disciplina que estudia el comportamiento de las funciones reales, ya vimos en los capítulos 4 y 5 como se puede analizar el límite y la continuidad de una función; también, en el capítulo anterior vimos conceptos para encontrar la derivada de una función. Ahora vamos a aplicar estos conceptos para poder tener mayor información sobre una función.
Recordemos
Definición 8.1 Una función f tiene un máximo local en x = c si existe un intervalo abierto que contenga el punto c donde la función esté definida y además f(x) <_ f© para todos los puntos del intervalo.
Nótese que una función puede tener un máximo absoluto y no tener máximos locales, o tener un máximo local y no tener máximo absoluto. También es posible que en un punto ocurra un máximo local y al mismo tiempo un máximo absoluto.
La definición de mínimo local o relativo es similar cambiando f(x) <_ f© por f(x) >_ f©. Cuando una funcin tiene un máximo o un mínimo decimos que tiene un valor extremo.
Ejemplo 8.1 Considere las siguientes funciones, indique cuales tienen máximos o mínimos y de que tipo
i) f(x) = |x|
ii) f(x) = 3 x2 en el intervalo [1,2]
iii) f(x) = 1/x en el intervalo (0,1]
Solución.
i) Primeramente analicemos la gráfica de la funcin
Vemos que en x = 0 tenemos un mínimo el cual es absoluto y local y que la funcin no tiene máximos.
ii) La gráfica de la funcion es
de aquí concluimos que en x = 0 la funcin tiene un máximo absoluto y local que es M = 3. También la funcin tiene un mínimo absoluto en x = 2 que es m = 1 y no tiene mínimos relativos.
iii) Si vemos la gráfica
Observamos que la funcin tiene un mínimo absoluto en x = 1 y que no tiene mínimos locales ni máximos.
Note que si en el último ejemplo consideramos la funcin en el intervalo (0,1) en lugar de (0,1] entonces la funcin no tiene mínimos, por lo que para el análisis de valores extremos de una funcin es muy importante saber qué intervalo se está estudiando.
Un caso muy especial ocurre cuando una funcin diferenciable tiene un máximo o un mínimo local.
Teorema 8.1 Supongamos que f tiene un máximo o mínimo local en un punto c en el cual existe la derivada de la funcin, entonces f`© = 0.
Demostración:
Supongamos que f tiene un máximo local en x = c, como es diferenciable en c, el límite siguiente existe
f(c+h)f©
lim entonces para valores pequeños de h
h>0 h como f© f(c+h)
f(c+h)f©
si h > 0 tenemos 0, y
h
f(c+h)f©
si h < 0 tenemos 0,
h
f(c+h)f©
concluimos que lim = 0 = f`(x).
h>0 h @
Quizá el teorema más importante que nos lleva a muchas aplicaciones de la derivada es el Teorema del Valor Medio para derivadas. Para poder establecer este teorema, veremos primero el teorema de Rolle.
Teorema 8.2 (Teorema de Rolle) Sea f una funcin tal que
i) f es continua en [a,b]
ii) f es diferenciable en (a,b)
iii) f(a) = f(b)
entonces existe un punto c en (a,b) tal que f`© = 0.
Demostración.
Sea f una funcin que cumple las condiciones i), ii) y iii) entonces por i) la funcin tiene un máximo absoluto M y un mínimo absoluto m en el intervalo [a,b], por el teorema 5.10.
Si tanto el máximo M como el mínimo m ocurren en a y en b entonces la funcin es constante, pues f(a) = f(b) por (iii), entonces f`(x) = 0 en todos los puntos, así que c puede ser cualquier punto intermedio, por ejemplo c = (a+b)/2.
Si el máximo M ‘o el mínimo m ocurre en un punto interior x=c, como la derivada existe en dicho punto por (ii), aplicamos el teorema 8.1 y tenemos que f`© = 0. @
Ejemplo 8.2 Analice la funcin f(x) = |x| en el intervalo [1,1] y diga si existe un punto donde la derivada es cero.
Solución.
Primeramente notamos que la funcin es continua en el intervalo, también tenemos que f(1) = |1| = 1 = f(1), sin embargo sabemos que la derivada nunca es cero, esto se debe a que la derivada no existe en x = 0, por lo que la funcin no necesariamente cumple la conclusión del teorema.
Nota 8.1 En el ejemplo anterior podemos observar que la funcin existe en todos los puntos del intervalo abierto excepto en x = 0 y solo es suficiente para que la hipótesis del teorema no se cumpla. Debemos por lo tanto, tener cuidado de que los tres incisos de la hipótesis se cumplan para poder aplicar la conclusión a la funcin.
Teorema 8.3 (Del Valor Medio) Sea f una funcin tal que
i) f es continua en [a,b]
ii) f es diferenciable en (a,b) f(b)f(a)
entonces existe un punto c en [a,b] tal que f`© =
ba
Demostración.
Sea f una funcin que cumple las condiciones (i) y (ii); consideremos la funcin siguiente
f(b)f(a)
g(x) = f(x) f(a) (xa) ba
vemos que g es continua en [a,b] porque es la suma de funciones continuas ya que f es continua, también es diferenciable en (a,b) y su derivada es
f(b)f(a)
g`(x) = f`(x) , pues f es diferenciable
ba
Además g(b) = g(a) = 0; por lo que la funcin g cumple con las tres condiciones del Teorema de Rolle, entonces existe un punto c en (a,b) tal que g`© = 0, o sea
f(b)f(a)
g`© = f`© = 0 por lo que cumple la conclusión.
ba @
Ejemplo 8.3 Encuentre un punto c que cumpla con el teorema del valor medio para la funcin
f(x) = x23x+1 en el intervalo [1,2]
Solución.
Primero notamos que la funcin f es continua en [1,2] ya que es un polinomio, también f es diferenciable y su derivada es f`(x) = 2x3, por lo que cumple la hipótesis del teorema del valor medio. Calculamos ahora el valor medio de la funcin en el intervalo que es
f(2)f(1) 1 5 6
= = = 2
2(1) 3 3
por lo que queremos un valor de c tal que f`© = 2, esto es
2c 3 = 2 o sea, c = 1/2.
Ejercicios.
Indique si las siguientes funciones cumplen la hipótesis del teorema de Rolle, si es el caso encuentre un valor de c en el intervalo tal que la derivada sea 0.
1. f(x) = X2 + 6 , en [3,3] 3. f(x) = x2+2, en [0,4]
2. f(x) = 2×3+3×2+x+4, en [1,0] 4. f(x) = 1/x + x, en [1,1]
En los siguientes problemas la funcin dada no tiene un punto donde la derivada sea 0, por qué no contradicen el teorema de Rolle?
5. f(x) = 1 |x| en [2,2]
6. f(x) = 1 x3/2 en [1,1]
7. f(x) = 3 + x5/2 en [1,1]
1/x, x =/ 0
8. f(x) =
1 , x = 0
Analice si las funciones dadas cumplen las condiciones del teorema del valor medio, de ser así encuentre un valor de c tal que f`© es igual al valor medio de la funcin en el intervalo.
9. f(x) = 3×2 x + 1 , en [0,2]
10. f(x) = 1/x, en [1,3]
11. f(x) = x3/2 + 1, en [2,3]
12. f(x) = 7/(x2+1), en [1,1]
13. Compruebe que el teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio; esto es, suponiendo el teorema del valor medio verdadero demuestre el teorema de Rolle.
14. Demuestre el teorema 8.1 suponiendo que f tiene un mínimo local en x = c.
15. Por la carretera de Tijuana a Ensenada la velocidad máxima permitida es de 110 km/h. Si se sabe que la distancia total es de 105 km y que un automovilista recorrió la distancia en 1 hora, demuestre utilizando el teorema del valor medio que el automovilista rebasó los el límite de velocidad marcado.
16. Demuestre que si una funcin f definida en un intervalo abierto es tal que f`(x) = 0 para toda x en el intervalo, entonces la funcin es constante. Sugerencia: Use el teorema del valor medio.
17. Demuestre que en una ecuación cuadrática definida en [a,b], el punto que satisface el Teorema del Valor Medio(Teorema 8.3) es el punto medio entre a y b.
18. Sea f una funcin con derivada continua f y con segunda derivada f` en (a,b), pruebe que existe un c en (a,b) tal que
(ba)2
f(b) f(a) = f`(a)(ba) + f``©.
2
19.Demuestre que lim ( x+1 x) = 0 usando el teorema del Valor Medio. x>oo
20. Sea f una funcin que cumple |f`(x)| <_ L para toda x en un intervalo abierto I, demuestre que para cualquier para de puntos x1, x2 se cumple la condición de Lipschitz; esto es,
|f(x1) f(x2)| L|x1 x2|.
21. Sea f una funcin con derivada en [a,b]. Si f`(x) =/ 0 en el intervalo abierto y f(a)f(b) < 0 compruebe que existe un valor único de x tal que f(x) = 0.
22. Pruebe que la ecuación 2×33×2+2x3 = 0 tiene solo una solución en el intervalo (1,2).
23. Diga cantos puntos de la siguiente gráfica satisfacen el teorema del valor medio.
24. Supongamos que f es una funcin con segunda derivada en algún intervalo abierto y con más de dos puntos tales que f(x) = 0, demuestre que existe al menos un punto tal que f``(x) = 0.
25. Teorema del Valor Medio de Cauchy. Sean f y g dos funciones continuas en [a,b] y diferenciables en (a,b). Demuestre que para algún punto c en (a,b) se cumple
f`©[g(b)g(a)] = g`©[f(b)f(a)]
Sugerencia: Use h(x) = f(x)[g(b)g(a)] g(x)[f(b)f(a)].
8.2 Monotonicidad y Concavidad
Dos aplicaciones muy importantes del teorema del valor medio son las que nos permiten analizar la monotonicidad y concavidad de una funcin cuando existe su primera y segunda derivada respectivamente.
8.2.1 Primera derivada y monotonicidad
definición 8.2 Una funcin f:R > R es creciente si para dos puntos x1, x2 en el dominio de f, x1 < x2 => f(x1) < f(x2).
Gráficamente podemos representar la idea de funcin creciente.
Nota 8.2 Algunos autores prefieren sustituir la desigualdad f(x1) < f(x2) por f(x1) <_ f(x2) y al caso que definimos le llaman estrictamente creciente, de esta forma la definición coincide con la que vimos para sucesiones. Como en este caso no nos interesa profundizar en este tema, ni ver la diferencia entre creciente y estrictamente creciente, con la definición que dimos es suficiente.
La definición de funcin decreciente es similar, basta sustituir f(x1) < f(x2) por f(x1) > f(x2).
Una funcin que es creciente ‘o decreciente en un intervalo se le llama monótona.
Teorema 8.4 Sea f una funcin diferenciable en un intervalo I, entonces
i) f`(x) > 0 en I => f es creciente en I
ii) f`(x) < 0 en I => f es decreciente en I
Demostración.
i) Sea f diferenciable tal que f`(x) > 0 para toda x en el intervalo I; sean x1, x2 dos puntos del intervalo tal que x1 < x2 entonces por el teorema del valor medio existe un punto c entre x1 y x2 tal que
f(x2)f(x1)
f`© = > 0, o sea que f(x2)f(x1) > 0
x2 x1
pero esto equivale a f(x1) < f(x2).
ii) Similar, se deja como ejercicio. @
Ejemplo 8.4 Analice la monotonicidad de las funciones
i) f(x) = 1/x
ii) f(x) = x33×29x+1
iii) f(x) = x + 1/x
Solución.
i) Vemos que f`(x) = 1/x2, por lo que
f`(x) < 0 para toda x =/ 0 entonces la funcin f es decreciente en el intervalo (oo,0) y en (oo,0), ver la figura
ii) f`(x) = 3×26x9, si analizamos los puntos en que la derivada es 0 tenemos
3×26x9 = 0 => x22x3 = 0 => (x3)(x+1) = 0 =>
x = 3 o x = 1
por el teorema de Bolzano, como f es continua en los intervalos (oo,1), (1,3) y (3,oo) no cambia de signo, por lo que
f`(x) > 0 en (oo,1) y (3,oo) y f`(x) < 0 en (1,3)
por lo tanto f es decreciente en (1,3) y creciente en los otros dos intervalos, como se puede ver en la siguiente figura
iii) f`(x) = 1 1/x2
f`(x) = 0 en x = 1 y en x = 1, como la funcin no está definida en x = 0, analicemos los intervalos (oo,1), (1,0), (0,1) y (1,oo) donde la funcin es continua y no cambia de signo, entonces;
f`(x) > 0 en (oo,1) y (1,oo) y negativa en los otros dos, por lo tanto f es creciente en (oo,1) y en (1,oo) y decreciente en los otros dos por el teorema 8.4, ver la gráfica
Nota 8.2 Vemos que en la parte (iii) del ejemplo anterior la funcin es decreciente en los intervalos (1,0) y (0,1); sin embargo, no es decreciente en (1,1), incluso todos los puntos de (1,0) tiene imágenes menores que los puntos en (0,1). Esto es posible porque en x = 0 hay una discontinuidad infinita.
8.2.2 Concavidad y puntos de inflexión
El saber en qué intervalos una funcin es creciente y en cuales decreciente es muy útil para poder elaborar mejor su gráfica, sin embargo en un intervalo [a,b], una funcin puede ser creciente y tener cualquiera de las siguientes gráficas
Por lo anterior, para la elaboración correcta de una gráfica es necesario conocer más acerca de la funcin, por ejemplo si la funcin es como el primer caso en la gráfica anterior. Nos interesa conocer en general si la curva está por arriba o por abajo del segmento que une dos puntos cualesquiera de su gráfica.
Supongamos que tenemos dos puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)), la ecuación de la recta que los une es
f(x2) f(x1)
y f(x1) = (x x1)
x2 x1
O sea que si la curva est’a por encima de la recta, la imagen de un punto x deberá ser mayor que el valor de y en la recta, como se establece en la siguiente definición.
definición 8.3 Sea f una funcin definida en un intervalo I, decimos que la funcin es cóncava hacia abajo o simplemente cóncava si dados dos puntos x1, x2 en I tales que x1 < x2 entonces para todo punto x entre x1 y x2 tenemos
f(x2) f(x1)
f(x) > f(x1) + (x x1)
x2 x1
La definición de cóncava hacia arriba o convexa se expresa en forma similar cambiando > por < en la última desigualdad de la definición 8.3.
Lo más importante de concavidad es que la podemos relacionar con la segunda derivada de una funcin, éste es una de las aplicaciones más importantes del teorema del valor medio.
Teorema 8.5 Sea f una funcin con segunda derivada en un intervalo I, entonces si
i) f``(x) < 0 para x en I, f es cóncava hacia abajo,
ii) f``(x) > 0 para x en I, f es cóncava hacia arriba.
Demostración.
i) Como f``(x) < 0 en I entonces f es una funcin decreciente, por el teorema 8.4
Queremos demostrar que f es cóncava en el intervalo I, así que tomemos dos puntos cualesquiera en I y sea x un punto entre ellos, esto es supongamos que x1 < x < x2, entonces por el teorema del Valor Medio existen dos puntos c y d en los intervalos (x1,x) y (x,x2) respectivamente tal que:
f(x)f(x1) f(x2)f(x)
f`© = y f`(d) =
x x1 x2 x
como f es decreciente y c < d entonces f`© > f`(d), ‘o sea
f(x)f(x1) f(x2)f(x)
> =>
x x1 x2 x
x2x xx1
[f(x)f(x1)] > [f(x2)f(x)] =>
x2x1 x2x1
x2x xx1 x2x xx1
f(x) + f(x) > f(x1) + f(x2) =>
x2x1 x2x1 x2x1 x2x1
x2x+xx1 x2x xx1
f(x) > f(x1) + f(x1) f(x1) + f(x2) =>
x2x1 x2x1 x2x1
x2xx2+x1 xx1
f(x) > f(x1) + f(x1) + f(x2) =>
x2x1 x2x1
xx1 xx1
f(x) > f(x1) f(x1) + f(x2) =>
x2x1 x2x1
f(x2)f(x1)
f(x) > f(x1) + (xx1)
x2 x1
Pero ésta es la definición 8.3 de funcin cóncava.
ii) Similar a (i) y se deja como ejercicio. @
Un punto c que marca un cambio de concavidad de una funcin continua se llama punto de inflexión y es de gran importancia para la gráfica de una funcin. Puede ser que la funcin sea cóncava hacia arriba antes del punto y cóncava hacia abajo para valores mayores de c o viceversa.
Si relacionamos los puntos de inflexión con la segunda derivada, vemos que un buen candidato para un cambio de concavidad es aquel punto donde la segunda derivada sea 0 ‘o donde la segunda derivada no exista, por el teorema 8.5.
Ejemplo 8.4 Analice la concavidad de las siguientes funciones.
i) f(x) = x3/3 x2/2 2x + 3
ii) f(x) = 1/x
iii) f(x) = x7/3 x5/3
Solución.
i) Vemos que f`(x) = x2x2, f``(x) = 2x1, entonces el único punto donde la segunda derivada es 0 es x = 1/2. Como en todos los puntos existe la segunda derivada en los intervalos (oo,1/2) y (1/2,oo) la concavidad no cambia y por el teorema 8.5 la funcin es cóncava hacia abajo en (oo,1/2) y cóncava hacia arriba en (1/2,oo) analizando el signo de la segunda derivada. Así que tenemos un punto de inflexión en x = 1/2. Nótese que aquí nos apoyamos en el teorema de Bolzano ya que la segunda derivada es continua.
1 2
ii) f`(x) = y f``(x) = por lo que la segunda derivada x2 x3
tiene el mismo signo que x, entonces la funcin es:
cóncava hacia abajo en (oo,0) y cóncava hacia arriba en (0,oo).
Aquí sin embargo x = 0 no es un punto de inflexión ya que no está en el dominio de la funcin.
iii)f`(x) = (7/3)x5/3 (5/3)x2/3 y
f``(x) = (35/9)x2/3 (10/9)x1/3, por lo que f``(x) = 0 =>
x2/3(35 10/x) = 0 => x = 35/10
en x = 0 la segunda derivada no existe, por lo tanto los posibles candidatos para puntos de inflexión son x = 0, x = 35/10,
Como x2/3 es positivo para toda x, la segunda derivada f` es positiva si x > 35/10 y negativa si x < 35/10.
Por lo que la curva es cóncava hacia abajo en (oo,0) y en (0,35/10) y es cóncava hacia arriba en el intervalo (35/10,oo).
Entonces x = 35/10 es un punto de inflexión de la curva.
En la última sección de este capítulo veremos un análisis general de curvas y se ilustrará la gráfica de esta última funcin.
Ejercicios.
Analice monotonicidad y concavidad de las funciones.
x
1. f(x) =
1+x2
2. f(x) = x
2x
4. f(x) =
x2
5. f(x) = x x1
x2
6. f(x) =
1+x2
1
7. f(x) = 1 +
x2
8. f(x) = x1/3 + x 1/4
9. f(x) = x2/3(x1)
10. f(x) = x2(x21)
1
11. f(x) =
(x2)2(x3)
1
12. f(x) =
x5
(x2)
13. f(x) =
(x+1)3(x1)2
1
14. f(x) = 5 +
(x1)2
15. Demuestre que una funcin cuadrática no tiene puntos de inflexión.
16. Demuestre la parte (ii) del teorema 8.4.
17. Demuestre la parte (ii) del teorema 8.5.
18. Demuestre que si 0 < a < b entonces se cumplen
a2 < b2, a < b y 1/a > 1/b.
Sugerencia. Utilice una funcin monótona para cada caso.
19. Encuentre una funcin f tal que f``© = 0 para algún punto c de su dominio, pero que no sea punto de inflexión.
8.3 Valores Extremos
8.3.1 Puntos críticos y extremos relativos
Para la gráfica de una funcin hay puntos que son claves para poder trazarla correctamente, dichos puntos deben ser elegidos de tal forma que representen cambios en el comportamiento de la funcin. La primera clase de puntos que estudiaremos son los que llamaremos puntos críticos.
definición 8.4 Sea f una funcin definida en un intervalo I, decimos que un número c en I es un punto critico si cumple alguna de las siguientes condiciones:
i) c es un punto interior y f`© = 0
ii) c es un punto interior y f`© no existe
iii) c es un punto orilla.
Nota 8.3 En la definición anterior nos referimos a puntos orilla cuando el intervalo es cerrado o semiabierto; esto es, alguno de los siguientes: [a,b], (a,b], [a,b) y por supuesto el punto c debe estar en el intervalo, no consideramos al punto b como punto critico, por ejemplo, en el intervalo [a,b).
Por ahora nos ocuparemos de los puntos críticos interiores y en la siguiente sección veremos los puntos orilla. El problema que nos interesa es decidir si un punto critico interior es un valor extremo relativo o n, para lo cual usaremos la primera y segunda derivada de una funcin cuando estas existan.
Recordemos que una funcin f tiene un máximo local ‘o relativo en un punto c si f© es máximo en una vecindad de c, ver definición 8.1, un mínimo local se define en forma similar y un valor extremo es aquel que es máximo o mínimo.
Sabemos que si una funcin diferenciable tiene un valor extremo local en un punto c entonces f`© = 0, por lo que los primeros candidatos lógicos para localizar un valor máximo o mínimo es un punto donde la derivada es cero.
Ejemplo 8.6 Encuentre los extremos relativos de la funcin
f(x) = x33×29x+1
Solución. Primeramente tenemos que f`(x) = 3×26x9, como ya lo habamos visto en el ejemplo 8.4(ii). También sabemos que la derivada es 0 si
3×26x9 = 0 => x22x3 = 0 =>
(x3)(x+1) = 0 => x = 3 o x = 1
por lo que puede haber un valor máximo ‘o mínimo en dichos puntos, analicemos primeramente x= 1, la funcin es creciente antes de 1 y decreciente después, por lo que en el intervalo (2,0); por ejemplo, x = 1 tiene un máximo. Así que f(1) es un máximo relativo.
También vemos que f(3) es un mínimo local o relativo ya que la funcin es decreciente en (1,3) y creciente en (3,oo) aplicando el teorema 8.4 por el signo de f en dichos intervalos. Esto lo podemos ver en la siguiente gráfica:
8.3.2 Criterio de la primera derivada
El método utilizado en el ejemplo anterior para comprobar que los puntos fueron extremos locales es una propiedad general que enunciaremos en el siguiente teorema y se conoce con el nombre de criterio de la primera derivada para máximos y mínimos relativos.
Teorema 8.6 Sea f una funcin continua definida en un intervalo abierto (a,b) y sea c un punto critico del intervalo, entonces si
i) f`(x) > 0 para x < c y f`(x) < 0 para x > c, f© es un máximo local o relativo.
ii) f`(x) < 0 para x < c y f`(x) > 0 para x > c, f© es un mínimo local o relativo.
Demostración.
i) Si f`(x) > 0 para x < c, la funcin es creciente en (a,c) y f`(x) < 0 para x > c implica que la funcin es decreciente, entonces f© es mayor que todas las imágenes f(x) en el intervalo (a,b) por lo que existe un máximo local en x = c.
ii) Similar a (i). @
Con este teorema y el teorema 8.1, vemos que los extremos relativos de una funcin solo pueden estar en un punto critico interior.
Ejemplo 8.7 Encuentre los valores extremos relativos de la funcin f(x) = 5×22x+3
Solución.
f`(x) = 10x 2, por lo que f`(x)=0 solo en x = 1/5. Si analizamos los signos de f(x) vemos que f`(x) > 0 si x > 1/5; igualmente f`(x) < 0 en si x < 1/5, por lo tanto, por el teorema anterior f(1/5) es un mínimo relativo.
Ejemplo 8.8 Encuentre los extremos locales de la funcin
f(x) = x2/3 + x/4
Solución.
f`(x) = (2/3)x1/3 1/4 por lo que fx) = 0 solo si
x = 3 3/2 y f0) no existe, por lo que estos dos valores de x son los únicos puntos críticos.
Vemos que f tiene un valor mínimo en x = 3 3 /2 pues fx) es negativa para 0 < x < 3 3 /2 y positiva para x > 3 3 /2. En x = 0 sin embargo no tenemos ni máximo ni mínimo ya que f`(x) es negativa en (1,0) y en (0,1/3).
Por lo tanto f tiene solo un mínimo local o relativo, lo que aquí convendrá es analizar la segunda derivada para ver si x = 0 es un punto de inflexión, pero el análisis completo de esta curva lo veremos en la siguiente sección.
8.3.3 Criterio de la segunda derivada
El criterio de la primera derivada cara encontrar máximos y mínimos de una funcin es muy importante, sin embargo en cálculo nos encontramos con mucha frecuencia con funciones que tienen segunda derivada en un intervalo abierto, para este tipo de funciones existe un criterio más sencillo que el del teorema 8.6 y se llama criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos o locales.
Teorema 8.7 Supongamos que una funcin tiene segunda derivada en todos los puntos de un intervalo abierto y sea c un punto critico interior de la funcin, entonces
i) si f``© < 0, f tiene un máximo local en x = c.
ii) si f``© > 0, f tiene un mínimo local en x = c.
Nota 8.4 Recordemos que un punto critico interior de una funcin es aquel en donde la derivada es cero o donde no existe. En el caso del teorema anterior como f` existe en todos los puntos del intervalo también existe la primera derivada por lo que f`© = 0. Algunos autores prefieren mencionar este hecho en el teorema para mayor claridad a pesar de ser una conclusión obvia de las condiciones de la hipótesis.
Demostración. (Teorema 8.7)
i) Vemos que
f`(c+h)f`© f`(c+h)
f``© = lim = lim < 0
h>0 h h>0 h
por lo tanto existe un intervalo (a,b), que contiene c donde el cociente
f`(c+h)
< 0 si h =/ 0, de aquí vemos que
h
h > 0 => f`(c+h) < 0 y h < 0 => f`(c+h) > 0; esto es,
f`(x) > 0 en el intervalo (a,c) y f`(x) < 0 en (c,b) pero esta es la condición (i) del teorema 8.6, por lo que f© es un máximo local.
ii) Similar a (i) @
Ejemplo 8.9 Encuentre valores extremos locales de la funcin
f(x) = x33×29x+1 usando el teorema 8.7
Solución.
f`(x) = 3×26x9, si analizamos los puntos en que la derivada es 0 tenemos
3×26x9 = 0 => x22x3 = 0 => (x3)(x+1) = 0 =>
x = 3 o x = 1
vemos que f`(x) = 6x6, por lo que
f``(1) = 12 < 0 así que en x = 1 tenemos un máximo local,
f``(3) = 12 > 0 así que en x = 3 tenemos un mínimo local.
Este resultado coincide con el del ejemplo 8.6 pero como se puede apreciar es más directo el procedimiento.
Ejemplo 8.10 Encuentre los valores extremos relativos de la funcin
1
f(x) = x2 +
x2
Solución.
2 6
f`(x) = 2x y f``(x) = 2 +
x3 x4
f`(x) = 0 => 2×4 2 = 0 => x4 = 1 => x = 1 por lo tanto los puntos críticos de f son x = 1 y x = 1,
como f``(1) = f``(1) > 0 en cada uno de los dos puntos hay un mínimo local, y son los únicos extremos de la funcin.
Nota 8.5 En este último ejemplo se podrá pensar que faltó de analizar x = 0; porque en ese punto no existe la derivada, sin embargo, el punto no es un punto critico puesto que no está en el dominio de la funcin.
Ejercicios.
Encuentre valores máximos y mínimos locales de las siguientes funciones
1. f(x) = 5×210x3 2. f(x) = x2+3x1
3. f(x) = 7×214x+1 4. f(x) = 2×3+9×260x+1
5. f(x) = x3(5/2)x224x 6. f(x) = x3+5×216x2
7. f(x) = x48×2+1 8. f(x) = x43
9. f(x) = x4x3 10. f(x) = x55×3
11. f(x) = (x1)2(x+2) 12. f(x) = (2x1)3(x+1)4
x2
13. f(x) = 14. f(x) = x + x2/3
x2+4
15. f(x) = x1/3 + 1 16. f(x) = 1 + (x1)1/3
17. f(x) = x1/5+x 18. f(x) = 2x x1/5
1
19. f(x) = (x1)2/5 + 1 20. f(x) = x2
x2
21. Demuestre la parte (ii) del teorema 8.6
22. Demuestre la parte (ii) del teorema 8.7
23. Demuestre que toda funcin cuadrática tiene un máximo o un mínimo.
24. Encuentre un ejemplo de una función cúbica que no tenga máximo ni mínimo.
8.4 gráfica de funciones
En esta última sección del capítulo usaremos lo que vimos como aplicaciones del teorema del valor medio y los temas de límites para encontrar los puntos “claves” en el dominio de la funcin y las asintotas para poder graficar más eficientemente una funcin.
8.4.1 Valores extremos en un intervalo
Cuando queremos analizar los valores extremos en un intervalo cerrado, consideraremos además de los puntos críticos interiores los puntos orilla.
Ejemplo 8.11 Encuentre los valores extremos de la funcin f(x) = 2×3 + 3×2/2 3x + 1 en el intervalo [2,1].
Solución. Primeramente buscamos los puntos críticos de la funcin, vemos que f`(x) = 6×2+3x3, por lo que f`(x) = 0 si
x = 1 ‘o x = 1/2, como la derivada de la funcin existe en todos los puntos los únicos puntos críticos además de los anteriores son los puntos orilla x = 2 y x = 1.
Aplicando el teorema de Bolzano a la derivada de f ya que es continua, vemos que los únicos posibles extremos son los puntos críticos.
Primero analizaremos los extremos relativos, como
f``(x) = 12x+3; tenemos que f``(1) = 9 < 0 y f``(1/2) = 9 > 0 por lo que en x = 1 se tiene un máximo local y en x = 1/2 un mínimo local.
Finalmente para obtener los extremos absolutos evaluamos las imágenes de todos los puntos críticos incluyendo los puntos orilla y tenemos:
f(2) = 3, f(1) = 7/2, f(1/2) = 1/8, f(1) = 3/2
Así que f(2) = 3 es el mínimo absoluto y f(1) = 7/2 es el máximo absoluto.
Por lo tanto, tenemos un punto donde ocurre el máximo local y absoluto, otro donde ocurre un mínimo local y otro donde está localizado el mínimo absoluto. Vemos también que f(1) = 3/2 no es un extremo.
Ejemplo 8.12 Encuentre los valores extremos de la funcin
x2, 1 <_ x <_ 2
f(x) = x26x+12, 2 <_ x <_ 4
8 x, 4 <_ x <_ 8
Solución.
El intervalo en el analizaremos la funcin es por supuesto [1,8] la derivada de la funcin es:
2x, 1 < x < 2
f`(x) = 2x6, 2 < x < 4
1, 4 < x < 8
Los puntos críticos interiores son: x=2 y x=4 donde no existe la derivada, x = 3 porque su derivada es cero, y finalmente los puntos orilla x = 1 y x = 8.
La segunda derivada es:
2, 1 < x < 2
f``(x) = 2, 2 < x < 4
1, 4 < x < 8
por lo tanto al único punto que le podemos aplicar el criterio de la segunda derivada teorema 8.7 es x = 3, el cual es un mínimo relativo pues f``(3) = 2. Para x=2 y x=4 usamos el criterio de la primera derivada teorema 8.6,
como f`(x) > 0 en (1,2) y f`(x) < 0 en (2,3); f(2) en un máximo relativo. También como f`(x) > 0 en (3,4) y f`(x) < 0 en (4,5) f(4) es otro máximo relativo.
Finalmente evaluando los puntos críticos en la funcin, podemos localizar los extremos absolutos; f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 3, f(4) = 4 y f(8) = 0.
Por lo tanto f(2) = f(4) = 4 es el máximo absoluto y f(8) =0 es el mínimo absoluto de la funcin en [0,8].
8.4.2 Asintotas
Una asintota de una funcin, como ya habamos visto en algunos ejemplos, es una línea recta que tiene la propiedad de estar “arbitrariamente cerca” de la gráfica de una funcin para valores “suficientemente grandes” de x o de y. Sabemos lo que es una asintota vertical y horizontal, pero veremos el concepto más general.
definición 8.5 Una recta de la forma y = mx + b es una asintota de una funcin f si lim [f(x) (mx+b)] = 0.
x>oo
Notemos que y = mx+b no incluye a las rectas verticales, para este caso decimos que x = a es una asintota vertical de la funcin f si |f(x)| › oo cuando x > a+ o cuando x >a. Claro que si se cumplen los dos casos también es una asintota; o sea, cuando x > a.
En la definición 8.5 es equivalente decir, por lo tanto, que [f(x)mx] > b cuando x > 0, b debe ser un límite finito, y si la recta es horizontal; m=0, entonces quedara lim f(x) = b, que coincide con la definición x>oo
que dimos de asintota horizontal en el capítulo 4.
Ejemplo 8.13 Encuentre las asintotas de las siguientes funciones
i) f(x) = x + 1/x
2×29x5
ii) f(x) =
x2
Solución.
i)
Primero buscaremos asintotas verticales, de la forma x = a. Los posibles valores de a son los números para los cuales el denominador de la funcin es cero; en este caso a = 0. Analizamos los límites laterales cuando x > 0 y tenemos
lim (x + 1/x) = oo, y lim (x + 1/x) = oo por lo que x = 0 es
x>0+ x>0
una asintota vertical.
Para las asintotas no verticales analizamos el siguiente límite
oo, si m < 1 lim [f(x)mx] = lim (x + 1/x mx) = 0, si m = 1
x>oo x>oo oo, si m > 1
o sea que la única asintota no vertical se tiene cuando m = 1, o sea que es la recta y = x.
Si construimos la gráfica tenemos:
ii) Asintotas verticales, otra vez el candidato es el valor 0 y tenemos
2×29x5 lim f(x) = lim = oo, y
x>0+ x2
2×29x5 lim f(x) = lim = oo x>0 x2
así que x = 0 es una asintota vertical, para localizar las asintotas no verticales tenemos:
2×29x5 2×29x5mx3
lim [f(x)mx] = lim mx = lim
x2 x2
Por lo que el límite es finito solo si m = 0, por lo tanto x=2 es una asintota horizontal ya que el límite es 2.
8.4.3 análisis de una funcin.
Después de los criterios vistos en este capítulo, es conveniente hacer un resumen, donde se sugiere un conjunto de pasos a seguir para poder analizar y graficar correctamente una funcin. Será imposible encajonar todos los problemas en un método como el que describiremos; pero para la mayoría de los ejemplos en los casos prácticos un análisis como el siguiente es suficiente.
Es conveniente, por lo tanto, que el alumno sepa que la metodología no se puede escribir como una receta de cocina, y que siempre el criterio y buen uso de los teoremas nos ayudaron en casos especiales. Sin embargo, el análisis de una funcin, nos dará un modelo de gran utilidad para elaborar la gráfica de una funcin.
análisis de una funcin.
Ilustraremos la idea de este análisis con un ejemplo al mismo tiempo de indicar los pasos.
Ejemplo 8.14 Grafique la funcin f(x) = (1/3)x3x23x+4
I) Encuentre los puntos críticos.
Vemos que la funcin está definida y tiene derivada en todos los números reales, así que los únicos puntos críticos son aquellos donde la derivada sea cero.
f`(x) = x22x3
Resolvemos la ecuación: x22x3 = 0, o sea
(x3)(x+1) = 0, por lo que
x = 1 ‘o x = 3
II) Encontrar posibles puntos de inflexión.
Como la derivada existe en todo número, los posibles puntos de inflexión deben tener segunda derivada igual a cero.
f``(x) = 2x2
Resolvemos la ecuación: 2x2 = 0, esto es
x = 1
III) análisis de signos de f y f``
En éste paso se analizan los signos de f y f` en los subintervalos formados por los puntos encontrados en los pasos (I) y (II) y los puntos donde la funcin no esté definida. En este caso tenemos que tanto la primera como la segunda derivada de f son continuas, por lo que aplicando el teorema de Bolzano, es suficiente sustituir un punto interior en cada intervalo
Como f es cero solo en x = 1 y en x = 3 basta considerar f`(2) = 5 > 0, f`(0) = 3 < 0 y f`(4) = 5 > 0. Para la segunda derivada consideramos f``(0) = 2 < 0 y f``(2) = 2 > 0 pues la segunda derivada solo es cero en x = 1. Por lo que tenemos
Funciones: Intervalos:
(oo,1) (1,1) (1,3) (3,oo)
f + +
f` + +
Con esto vemos que la funcin es creciente en los intervalos (oo,1) y (3,oo) y decreciente en (1,3); por el teorema 8.4.
La funcin es cóncava hacia abajo en (oo,1) y es cóncava hacia arriba en (1,oo); aplicando el teorema 8.5.
IV) Localizar máximos y mínimos locales y puntos de inflexión
Para este paso podemos usar alguno de los criterios de la sección 8.3, en este caso usaremos el criterio de la segunda derivada.
f``(1) = 4 < 0, por lo que hay un máximo local en x = 1
f``(3) = 4 > 0, por lo que hay un mínimo local en x = 3
Vemos que en x = 1, la segunda derivada cambia de signo; por lo que hay un punto de inflexión.
Nota 8.6 Recordemos que el hecho de que la segunda derivada sea cero en un punto no implica que es un punto de inflexión, por lo que es necesario analizar el signo de f`
V) Tabulación y gráfica de los puntos.
Para todos los valores de x obtenidos en los dos primeros pasos se calculan la imágenes bajo la funcin y se grafican.
f(1) = 17/3, f(1) = 1/3, f(3) = 5 por lo que tenemos los puntos (1,17/3), (1,1/3) y (3,5).
Finalmente la gráfica de la funcin es:
Nota 8.7 El método descrito anteriormente también nos sirve para graficar una funcin en un intervalo cerrado, la única diferencia es que en el paso (IV), además de los puntos extremos relativos se deben buscar los extremos absolutos; por lo que se anidaran los puntos orilla como se vio al principio de esta sección en 8.4.1.
Ejemplo 8.15 Analice la funcin y grafique.
f(x) = x2/3 2x/3
Solución. Analicemos la funcin.
I) Puntos críticos.
f`(x) = (2/3)x1/3 2/3 por lo que f`(x) = 0 solo si
x = 1 y f`(0) no existe, por lo que estos dos valores de x son los únicos puntos críticos.
II) Posibles puntos de inflexión.
f``(x) = (2/9)x4/3, así que el único posible punto de inflexión es x = 0, que también es un punto critico.
III) análisis de signos de f y f``
Los intervalos que se deben analizaran son (oo,0), (0,1) y (1,oo).
Funciones: Intervalos:
(oo,0) (0,1) (1,oo)
f +
f`
Con esto vemos que la funcin es decreciente en el intervalo (oo,0) y creciente en los intervalos (0,1) y (1,oo) por el teorema 8.4.
La funcin es cóncava hacia abajo en los tres intervalos, aplicando el teorema 8.5.
IV) Localizar máximos y mínimos locales y puntos de inflexión
Vemos que f tiene un valor mínimo en x = 0 y un máximo en
x = 1 pues f`(x) es negativa para 1 < x < 0 y en 1 < x < 2 y positiva para 0 < x < 1. También vemos que no hay puntos de inflexión.
V) Tabulación y gráfica de los puntos.
Para todos los valores de x obtenidos en los dos primeros pasos se calculan la imágenes bajo la funcin y se grafican.
f(0) = 0, f(1) = 1/3 por lo que tenemos los puntos (0,0), (1,1/3).
Finalmente la gráfica de la funcin es:
Ejemplo 8.16 Analice la funcin y grafique.
f(x) = x8/3 x5/3
Solución. Analicemos la funcin.
I) Puntos críticos.
f`(x) = (8/3)x5/3 (5/3)x2/3
(8/3)x5/3 (5/3)x2/3 = 0 =>
(1/3)x2/3(8x5) = 0 =>
x = 0, x = 5/8
II) Posibles puntos de inflexión.
f``(x) = (40/9)x2/3 (10/9)x1/3, por lo que f``(x) = 0 =>
x2/3(40 10/x) = 0 => x = 1/4
En x = 0 la segunda derivada no existe, por lo tanto los posibles candidatos para puntos de inflexión son x = 0, x = 1/4.
III) análisis de signos de f y f``
Los intervalos que se deben analizaran son (oo,0), (0,1/4), (1/4,5/8) y (5/8,oo).
Funciones: Intervalos:
(oo,0) (0,1/4) (1/4,5/8) (5/8,oo)
f + +
f` + + +
Entonces la curva es creciente en el intervalo (1/4,oo) y decreciente en (oo,1/4)
La curva es cóncava hacia abajo en (0,1/4) y es cóncava hacia arriba en el intervalo (oo,0) y (1/4,oo).
IV) Localizar máximos y mínimos locales y puntos de inflexión
Vemos que f tiene un valor mínimo en x = 5/8 pues
f``(5/8) > 0. En x = 0 y en x = 1/4 tenemos puntos de inflexión.
V) Tabulación y gráfica de los puntos.
Para todos los valores de x obtenidos en los dos primeros pasos se calculan la imágenes bajo la funcin y se grafican.
f(0) = 0, f(5/8) = (5/8)8/3 (5/8)5/3, f(1/4) = (1/4)8/3 (1/4)5/3, por lo que la gráfica de la funcin es:
Finalmente veremos que si conocemos puntos claves y los signos de la primera y segunda derivada, es posible elaborar la gráfica sin conocer las imágenes de la funcin; como lo podemos ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8.17 Construya la gráfica de una funcin continua con las siguientes características: f(0) = 4, f(3) = 0, f(4) = 1, f(6) = 2, f(x) > 0 en (3,4), f(x) < 0 en (0,3) y en (4,6), f``(x) > 0 en (0,4) y en (4,6).
Solución.
Primeramente vemos que la funcin es creciente en el intervalo (3,4) y decreciente en los intervalos (0,3) y (4,6). También es convexa en los intervalos (0,4) y (4,6) por lo que la gráfica deberá tener la siguiente forma:
Igualmente a partir de una gráfica se puede establecer cuales son los puntos importantes, los signos de la primera y segunda derivada y en general su comportamiento.
Ejemplo 8.18 Analizando la gráfica de la funcin dada, encuentre las imágenes de los puntos “clave” y los signos de la primera y segunda derivada en los subintervalos obtenidos por dichos puntos.
Solución.
Vemos en base a la gráfica que f(0) = 0, f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1, f(5) = 5, f(7) = 6, f(8) = 5, f(9) = 6, f(10) = 8. También como f es creciente en (0,1), (3,7), (8,10) y decreciente en (1,3) y (7,8) si f tiene derivada f`(x) > 0 en (0,1), (3,7), (8,10) y f`(x) < 0 en (1,3) y (7,8). También de la gráfica podemos ver que si la segunda derivada existe f``(x) > 0 en (2,5) y (9,10) así como f``(x) < 0 en (0,2), (5,8) y (8,9).
Ejercicios.
Encuentre los valores máximos y mínimos de la funcin en el intervalo dado.
1. f(x) = 2×2 5x + 1, en [0,3].
2. f(x) = 2×3 + 9×2 6x + 1, en [6,3].
3. f(x) = 2×3 + 9×2 6x + 1, en [0,4].
4. f(x) = x4 + 5×3, en [1,2].
5. f(x) = x4 x2, en [1,1].
6. f(x) = x4 x2, en [0,2].
7. f(x) = |3x 1|, en [0,1].
8. f(x) = |3x 1|, en [1.2].
Grafique las siguientes funciones.
9. f(x) = x3/3 2×2 + 3x
10. f(x) = x5 5×3
11. f(x) = x x + 2
12. f(x) = x + |x|
x3
13. f(x) =
x
x
14. f(x) =
x2+1
15. f(x) = 1 + x2
(x1)(x+2)
16. f(x) =
x3
17. f(x) = (x31)(x+1)3
Grafique las siguientes funciones que cumplan:
18. f(0) = 5, f(2) = 1, f(3) = 3, f(4) = 5, f(5) = 4;
f`(x) > 0 en (2,4) y f`(x) < 0 en (0,2) y en (4,5);
f``(x) > 0 en (3,5) y f``(x) < 0 en (0,3).
19. f(2) = 0, f(0) = 3, f(2) = 0, f(4) = 2;
f`(x) > 0 en (2,0) y en (2,4), f`(x) < 0 en (0,2)
f``(x) < 0 en (2,2) y en (2,4).
20. f(4) = 5, f(2) = 2, f(0) = 5, f(2) = 8, f(4) = 5;
f`(x) > 0 en (2,2) y f`(x) < 0 en (4,2) y en (2,4);
f``(x) > 0 en (0,4) y f``(x) < 0 en (4,0).
Analice la gráfica de las siguiente funciones e indique las imágenes de los puntos que sea posible, indique también donde es creciente y decreciente y analice la concavidad, mediante el supuesto de que f y f` existen, excepto posiblemente en los puntos señalados, escriba donde son positivas y donde negativas.
21.
22.
23.
24.