Para estimar la media poblacional por medio de intervalos de confianza, será necesario recordar que el Teorema Central del Límite nos daba información de como se hallaban distribuidas las medias muestrales: “normalmente” con una media igual a la de la población original (que es la que ahora tratamos de conocer) y desviación típica
Supongamos que hemos analizado la muestra ya nombrada de media Km., y que sabemos que la desv. típica de la población es de =0,4 km., y que nos planteamos estimar la media de todo el instituto, con un nivel de confianza del 95% .El proceso para realizar la estimación es el siguiente: Sabemos por el T.C.L. que las medias muestrales se distribuyen según
La siguiente figura nos ilustrará:
Hallamos el valor k de forma que p(-k<Z<k)=0,95 , o lo que es lo mismo p(Z<k)=0,975. Consultando nuestra tabla de la distribución normal, encontraremos que k=1.96 . Este valor nos dice que la medias muestrales se encuentran en un 95% de los casos como máximo a 1.96 desviaciones típicas de la media buscada, es decir, nuestra media , en un 95% de los casos, dista de la media poblacional menos de 1,96.0,063=0,124 km.
Si tomamos un intervalo con centro en dicha media muestral , y radio 0,124, en un 95% de los casos la media buscada estará dentro del intervalo.
Encontramos por tanto que a un nivel de confianza del 95%, la media poblacional es de 3 km. con un error máximo de
o lo que es lo mismo, existe una probabilidad del 95%, de que la media buscada se encuentre en el intervalo de confianza (3–0,124 , 3+0,124) = (2,976 , 3,124 ). Así pues en general para un proceso de estimación de la media, el intervalo de confianza será: ( - E , + E) siendo la media de la muestra, y el error de estimación.
Para entender mejor el proceso, observa el gráfico interactivo en el que se supone que la verdadera media de la población es µ=3.1 km. Comenzamos con el valor k=1,96, que corresponde a una confianza del 95%. Luego hallamos el área roja, que corresponde a las medias muestrales que tienen una probabilidad de aparición del 95%. Si la media muestral (mm) obtenida es, como en el caso que nos ocupa, , puedes comprobar como el intervalo de confianza contiene a la media de la población.
Varía el nivel de confianza, y anota que le ocurre al intervalo de confianza. Así mismo, puedes variar el valor de la media muestral, e investigar, qué valores dan lugar a intervalos que no contienen a la media de la población y cuál es la probabilidad de ocurrencia de dichos valores.
