ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES
(DEDIDACA AL ISVB) Productos interiores definidos en espacios vectoriales [editar]
En el espacio vectorial \mathbb{R}^n se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:
\vecĀ\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3, …, a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, …, b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + … a_n b_n
En el espacio vectorial \mathbb{C}^n se suele definir el producto interior por:
En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos
\vecĀ\cdot\vec{B}=tr(B^t A)
donde tr es la traza de la matriz.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])
\vec{f}\cdot\vec{g} = \int_ā^{b} f(x)g(x)dx
Dado [x1,x2,x3,…,xn,xn + 1] ⊆ \mathbb{R} tal que x1 < x2 < x3 < … < xn < xn + 1] , en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n
\vec{p}\cdot\vec{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+…+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1)
De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.
EN RESUMEN Y PARA TAMAYO
producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación <\cdot,\cdot>: V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:
1) <ax+by,z> = a <x,z> + b <y,z> \, (lineal en el primer componente),
2) <x,y> = \overline{<y,x>} (hermítica),
3) <x,x> \geq 0 \,, y <x,x> = 0 \, si y sólo si x = 0 \, (definida positiva),
donde x,y,z \, son vectores arbitrarios, a,b \, representan escalares cualesquiera y \overline{c} es el conjugado del complejo c \,.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.
Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
||x|| := \sqrt{<x,x›}.
por: AGOS http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar Véase también [editar]