Escalonamiento De Una Matriz

MATRICES

El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial si definimos:

i) La matriz de coeficientes:

ii) La matriz de incógnitas:

iii) La matriz de términos independientes o resultados:

Entonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial:

donde el producto indicado es el producto de matrices.

OPERACIONES ELEMENTALES

          Para una matriz  A  se definen tres operaciones elementales por renglones ( o columnas ); nos remitiremos a las operaciones por renglones.   Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza el símbolo de equivalencia. 

I.- Intercambiar dos renglones

     Ejemplo:     Si intercambiamos el renglón  1  y  3:
  	~

II.- Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero

        Ejemplo:       Si multiplicamos el renglón  3 por 2:

III.- Sumar un renglón a otro renglón

         Ejemplo:     Si sumamos el renglón  3  al renglón  2:
  	~

Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

            Ejemplo:

             (i)  Comenzamos con la matriz:


              (ii)  Multiplicamos el renglón  1 por 2:
  	~

              (iii)  Sumamos el renglón  1  al renglón  2:
  	~

             (iv)  Finalmente multiplicamos por    el renglón  1  ( lo cual anula el paso 
                    (ii) ):
  	~

Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:

  	~

Finalmente, las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de algún elemento .

Ejemplo: Hacer ceros debajo del elemento en la siguiente matriz:

Solución. Vemos que para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón 1 por 2 , y sumarlo al renglón 2. Tambien podemos multiplicar el mismo renglón 1 por –3, y sumárselo al renglón 3:

  	~

El objetivo final es transformar una matriz A en una matriz escalonada .

Definición. Una matriz se llama escalonada si el primer elemento no cero en cada renglón está más a la derecha que el del renglón anterior.

Ejemplos:

1) La matriz

             sí es escalonada. 

2) La matriz

             no es escalonada. 

Obviamente el escalonamiento de una matriz se logra “haciendo ceros” debajo de los elementos adecuados.

   Ejercicios:

1) Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matriz:

Solución. La notación se explica por sí sola:

2) Escalonar la siguiente matriz:

Solución. Procedemos como en el ejercicio anterior:

Tenemos ahora todas las herramientas para estudiar nuestros dos primeros métodos numéricos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.