Small text! Tema 2.5 Equivalencia Lógica.
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FLORES RIVERA ALMA SOFIA
Definición:
Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.
Leyes Lógicas
- Asociativas
- Distributivas
- Leyes de De Morgan
- De idempotencia
- De identidad
- De dominación
- Inversas
- De absorción
Reglas de Sustitución
- Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también una tautología.
- Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición lógicamente equivalente a P.
- Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene sólamente los conectivos lógicos -, v,and.
Reglas de Inferencia
Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos P \Rightarrow Q si P rightarrow Q es una tautología.
Si P es falso, entonces la proposición P, Q es verdadera independientemente del valor de Q. Por tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen verdadero a Q. De manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de manera simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente.
Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera.
El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores de verdad de una proposición para cada posible combinación de los valores de las proposiciones simples.
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción
A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.
Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción
Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.
Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes:
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) ¬p ∨ ¬q ∨ r
| p | q | r | ¬q | ¬p | p → ¬q | ¬p ∨ r | (p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) | ¬ p ∨ ¬q | ¬p ∨ ¬q ∨ r |
| V | V | V | F | F | F | V | V | F | V |
| V | V | F | F | F | F | F | F | F | F |
| V | F | V | V | F | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V | V | V |
| F | V | V | F | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | F | V | V | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V | V | V |
donde se puede observar que la última yla antepenúltima columnas son iguales.
Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.
Teorema:
Si dos fórmulas lógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.
Si F ≡ G entonces F ⇔ G
La propiedad inversa también se cumple pues si una bicondicional es una tautología, las fórmulas que la componen son equivalentes. El teorema y su inverso se comprueban directamente de la tabla de verdad de la bicondicional, ver sección 1.3.4 Bicondicional.
!!!Tautologías fundamentales
Ley del medio excluido p ∨ ¬p
Ley de no contradicción ¬(p ^ ¬p)
Modus ponendo ponens ((p → q)^p) → q
Modus tollendo tollens ((p → q)^ ¬ q) → ¬ p
Silogismo Disyuntivo ((p ∨ q)^ ¬p) → q
La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con valores de verdaderos únicamente.
!!!Equivalencias
Doble negación ¬(¬p) ↔ p
Implicación y disyunción p → q ≡ ¬p ∨ q
Contrapositiva p → q ≡ ¬q → ¬p
Negaci’on de la Implicación ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q
Leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ^ ¬q
¬(p ^q) ≡ ¬p ∨ ¬q
La expresión p → q es equivalente a ¬p ∨ q pues
| p | q | p → q | ¬p | ¬p ∨ q |
| V | V | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
Falta hablar de formas normales, utilizar las identidades para llegar a la forma normal conjuntiva.
Miguel A. Villarreal Pérez
Marco A. Garay Manrriquez
Daniel Martinez Villegas
Equivalencias Logicas
Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
Teorema: Si dos fórmulas lógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.
Pasos para la realizacion de equivalencias
1.- Numerar los operadores de la primer formula
p v ¬q v ¬r , p v (q → ¬r)
2.- Primeramente los parentesis internos, seguido de las negaciones, posteriormente los operadores siguientes.
3.- Realizar el arbol. (IMG ARBOL)
4.- Se numeran las hojas del arbol de abajo haca arriba de forma alfaberica, se hace esto para las dos formulas. primero la de la izquierda.
5.- Una vez terminado el árbol, proceder a hacer la tabla.
6.- Poner los encabezados de la tabla usando los numeros del arbol.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| p | q | r | ¬q | ¬r | ¬q v ¬r | p v ¬q v ¬r | q → ¬r | p v (q → ¬r) |
| V | V | V | ||||||
| V | V | F | ||||||
| V | F | V | ||||||
| V | F | F | ||||||
| F | V | V | ||||||
| F | V | F | ||||||
| F | F | V | ||||||
| F | F | F |
7.- Acomodar los valores de las hojas, siempre siguiendo el mismo orden.
8.- Poner los demas valores de la tabla utilizando las tablas de verdad.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| p | q | r | ¬q | ¬r | ¬q v ¬r | p v ¬q v ¬r | q → ¬r | p v (q → ¬r) |
| V | V | V | F | F | F | V | F | V |
| V | V | F | F | V | V | V | V | V |
| V | F | V | V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V | V | V | V | V |
| F | V | V | F | F | F | F | F | F |
| F | V | F | F | V | V | V | V | V |
| F | F | V | V | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V | V |
9.- Si las tablas no. 7 y no. 9 son exactamente iguales, se concluye que son equivalentes las dos.
NOTA: Las tablas 7 y 9 son las formulas originales, si estas dos son iguales entonces son equivalentes.
Alma Sofia Flores Rivera.
http://youtube.com/watch?v=NazzJk-koN0
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/04leyeslog/100intrequtau.html
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