3.3. Principio de superposición de ondas.
Para describir mejor la interferencia, veamos el siguiente ejemplo:
Una pantalla se localiza a una distancia perpendicular L de la pantalla que contiene las rendijas S1 y S2 las cuales se encuentran separadas por una distancia d y la fuente es monocromática. En estas condiciones, las ondas que emergen de S1 y S2 tienen la misma frecuencia y amplitud y están en fase. La intensidad luminosa sobre la pantalla en cualquier punto arbitrario P es la resultante de la luz que proviene de ambas rendijas. Observe que, con el fin de llegar al punto P, una onda de la rendija inferior viaja una distancia igual a dsen . Esta distancia se denomina diferencia de trayectoria, donde :
Esta ecuación supone que r1 y r2 son paralelas, lo que es aproximadamente cierto que L es mucho mas grande que d. El valor de esta diferencia de trayectoria determina sí o no las dos ondas están en fase cuando llegan a P. Si la diferencia de esta trayectoria es cero o algún múltiplo entero de la longitud de onda, las dos ondas están en fase en P y se produce interferencia constructiva, en P es:
El numero n recibe el nombre de número de orden. La franja brillante central en =0 (m=0) recibe el orden de máximo orden de cero. El primer máximo en cualquier lado, cuando m= 1 se denomina máximo de primer orden, y así sucesivamente.
Cuando la diferencia de trayectoria es un múltiplo impar de /2, las dos ondas que llegan a P están 180º fuera de fase y dan origen a interferencia destructiva. Por lo tanto, la condición para la interferencia destructiva, en P es:
Adición fasorial de Ondas:
Donde: E0= Amplitud de onda. w= Frecuencia angular. T= Tiempo.
Método gráfico:
Formulas:
Como:
;
Entonces:
SUPERPOSICIÓN de ONDAS: INTERFERENCIAS
Vamos a ver como dos ondas de igual dirección y de sentidos iguales o contrarios al cruzarse se interfieren y crean un nuevo patrón de vibración en el punto en que se cruzan. En el applet veremos como es la forma de vibración de ese punto de cruce y representaremos sus desplazamientos frente al tiempo. El patrón de interferencia se repite. INTERFERENCIAS Cuando dos ondas se cruzan, interfieren y dan en el punto de cruce una resultante de características bien definidas -producto de la combinación de las dos-, pero prosiguen sin modificarse la una a la otra, transportando cada una su energía. En el punto en que se cruzan las ondas (si sigue llegando el tren de ondas) la interferencia se mantiene en el tiempo con las mismas características iniciales de fase o de desfase. Podemos representar los valores de los desplazamientos originados por cada onda respecto a la posición de equilibrio y el efecto de la resultante -suma de amplitudes-. En esta gráfica podemos ver como varía la distancia a la posición de equilibrio frente al tiempo. Esto se muestra en el applet que veremos aquí Cuando dos ondas de igual amplitud, dirección y frecuencia interfieren forman una resultante que es la suma de las dos. La suma puede variar entre los siguientes valores: • Si las ondas que interfieren están en fase, la onda resultante tendrá la misma dirección, la misma frecuencia y su amplitud será el doble. • Si su desfase es de 180º se anulan , no dan onda, se destruyen. • Si su desfase se encuentra entre los dos valores anteriores, la onda resultante tendrá la suma/resta de las amplitudes en cada instante de las dos ondas que interfieren. La fase inicial entre las ondas que interfiere se mantiene y la resultante tendrá una fase distinta pero también constante en el tiempo. Para dos ondas de igual dirección y frecuencia, pero distinta amplitud y fase que se superponen : y1 =A1sen ( t -) ; y2 =A2sen ( t -) ; dan como resultante una nueva onda yR=Asen ( t -) de amplitud : A 2=A12+A22+2•A 12 a 22?•cos ( -) Su fase la hallamos sabiendo que su tangente es: : tg =(A1sen +A2sen ) / (A1cos +A2cos). Los valores dados por las fórmulas anteriores son fáciles de calcular aplicando el diagrama de Fresnel: son las proyecciones sobre el eje y de los valores de A1 , A2 y la resultante de la superposición es la proyección de A.
y1 =A1sen ( t -) ; y2 =A2sen ( t -) ; A 2=A12+A22+2•A 12 a 22•cos ( -) El valor instantáneo de la resultante es la proyección de A sobre el eje y. Si las ondas que interfieren tienen distinta frecuencia, pero con valores próximos, la interferencia da “pulsaciones” o “batidos”.
ONDAS ESTACIONARIAS Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino distintos modos de vibración de una cuerda, de una membrana, del aire en un tubo, etc. Lo que sucede en una cuerda con ondas estacionarias, (o en cualquier otro medio), se debe al efecto de la superposición de ondas que al cruzarse dan lugar a que determinados puntos de la cuerda estén estacionarios, que otros pasen por diferentes estados de vibración y que algunos alcancen estados de vibración máximos. Pulsa aquí para observar ondas estacionarias transversales y longitudinales. Puedes leer primero la teoría o hacer las actividades que te propongo de ondas estacionarias en una cuerda. Para ver las ondas estacionarias longitudinales en un tubo pulsa aquí. Puedes realizar una práctica virtual pulsando aquí. ________________________________________ Explicación teórica de las ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los extremos
Vamos a deducir la fórmula que da las frecuencias de los modos de vibración (el sonido) de una cuerda de longitud L fija por sus extremos. Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda. y1=A sen (kx - t) de izquierda a derecha y2=A sen (kx + t) de derecha a izquierda La onda estacionaria resultante es la suma de las dos: yresultante=y 1+ y2 =2 A sen(t). El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra -A. Sumando las funciones y sabiendo que: sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 •cos (a+b)/ 2 obtenemos (compruébalo): yresultante=y 1+ y2=2A sen(kx) cos( t). Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx- t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular y con una amplitud 2A sen(kx). La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (puntos estacionarios ): son los llamados nodos. Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a “2A” sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando cos( t) sea igual a 1. Se llaman nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=n siendo n =1, 2, 3, ….(recuerda que k=2), o bien, x = /2, , 3 /2, … La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, /2. Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=/2. Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L= Para el tercer modo, L = /2, y así sucesivamente. Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración. Se producirán nodos para una cuerda de longitud “L” cuando la de la onda tenga los valores dados por la fórmula:
Como la frecuencia y la longitud de onda están realcionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación =vT, o bien =v/
En una cuerda de longitud “L” obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir “n” por 1. También se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n =1,2,3 La velocidad de propagacion v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. Ver velocidad de propagación de odas transversales
La fórmula que indica que frecuencia debe tener una onda que rebota entre los extremos de una cuerda de longitud L y masa m atada por los extremos y tensada con una fuerza T es:
Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar rápidamente los restantes armónicos: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente… 1 Modo fundamental. n =n 1 Armónicos n=2, 3, 4….
Problema Ejemplo Onda Estacionaria en Cuerda. La cuerda Mi alta de una guitarra mide 64 cm de longitud y tiene una frecuencia fundamental de 330 Hz. Al presionar hacia abajo en el primer traste (el más próximo al clavijero) la cuerda se acorta de modo que se toca en una nota Fa que tiene una frecuencia de 350 Hz. ¿ A qué distancia está el traste del extremo del mango de la cuerda?. Solución. Sabemos que la longitud total de la cuerda debe ser media longitud de onda fundamental,
=2×0.64 m=1.28 m
La velocidad de propagación del sonido en esta cuerda es entonces v= f=(1.28 m)(330 Hz)=422 m/s. Al pulsar la cuerda, la tensión en la cuerda no varía, de modo que la velocidad de propagación se mantiene en 422 m/s. La longitud de la cuerda acortada L, podemos obtenerla de L= /2, =v/f, o sea L=v/(2f) =(422 m/s)/(2×350 Hz)=0.603 m. La diferencia entre esta nueva longitud y la longitud de 64 cm es 3.7 cm, que es la distancia desde el primer traste hasta el extremo del mango. Cuando dos ondas pasan por la misma región del espacio al mismo tiempo sucede lo que se llama interferencia, siendo el desplazamiento resultante la suma algebraica de los desplazamientos individuales de cada onda. Problema Ejemplo Interferencia. Suponga dos parlantes separados 1 metro excitados por un mismo oscilador y que emiten un sonido de frecuencia 1150 Hz. Una persona está a 4.0 m de uno de los parlantes, ¿ A qué distancia debe estar del segundo parlante para notar interferencia destructiva? Suponga que la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 343 m/s. Solución. La longitud de onda de este sonido es
=v/f=(343 m/s)/(1150 Hz)=0.3 m.
Para que haya interferencia destructiva, la persona debe estar media longitud de onda, o 0.15 cm más alejada de un parlante que del otro. Así por ejemplo, la persona debe estar a 4.15 m o a 3.85 m del segundo parlante. El efecto Doppler es el cambio de frecuencia de un sonido debido al movimiento ya sea de la fuente o del observador. Si hay acercamiento, la frecuencia aumenta, y si se alejan, la frecuencia disminuye. La nueva frecuencia f’ que percibe el observador está dada por la fórmula.
f’=(v ± vo)/(v vs)f
Donde v es la velocidad de propagación del sonido, v0 es la velocidad del observador y vs es la velocidad de la fuente. Los signos superiores ( +y -) se aplican si la fuente y/o el observador se aproximan, y los inferiores ( - y + ) si se alejan.
3.3.1. ONDA SENOIDAL
Se trata de una señal análoga, puesto que sus valores oscilan en una rama de opciones prácticamente infinita, así pues, podemos ver en la imagen que la onda describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática Seno, que posee los siguientes atributos característicos: • En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo a, que se designa por sen a, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa. • El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:
• La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2π (Recuérdese que en radianes, π representa 180°). Se denomina función sinusoidal.
El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos: a / senA = b / senB = c / senC Este tipo de ondas son vistas en la Corriente Alterna, puesto que en ésta, la dirección del flujo eléctrico cambia constantemente en el tiempo, y cada uno de estos cambios es representado en la gráfica por un ciclo, puesto que se considera que la carga va aumentando hasta llegar a su máximo, luego disminuye hasta cero y da paso al siguiente sentido.