‘5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES’ Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
EJEMPLOS
Rotación
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
- Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө )
v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α
tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )
= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)
= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө)
= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que cada vector u = (u1 , u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (u) = ( v1 , v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T(u1 , u2)=(u1 , - u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T[(u1 , u2)+ λ (v1 , v2)] = T(u1 + λ v1 , u2 + λ v2)
=(u1 + λ v1 , - u2 - λ v2)
=(u1 , - u2) + λ (v1 , - v2)
T=(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Proyección ortogonal sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que a cada vector u=(u1 , u2) lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector T(u)=(v1, v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:
T(u1, u2) = (u1 , 0)
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T[(U1 , u2) + λ (v1 , v2)] = T (u1+ λ v1 , u2 + λ v2)
=(u1 + λ v1 , O) = (u1 , O) + λ (v1 , O)
= T (u1 , u2) + λ T(v1, v2)
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de R^2
W1 = {(x,0)/x Є R }
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, W1 tiene un complemento directo, a saber,
W2 = {(0,y)/y Є R }
De tal forma que cada vector (x , y) Є R^2 se escribe en forma única como suma de un vector de W1 más un vector de W2 como sigue:
(x,y) = (x,0)+(0,y)
Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a (x,y) sobre (x,0) , el cual es precisamente el término correspondiente a W1 en la descomposición anterior.
Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:
Definición. Sea V un espacio vectorial y sea W1 c V un subespacio tal que existe W2 el complemento directo de W1 en V, es decir tal que V = W1 + W2 , de tal forma que cada vector v Є V se escribe en forma única como:
v = x + y
Con: x Є W1 y y Є W2
Definimos entonces la proyección sobre W 1 , como aquella transformación T:V→V tal que T(v) = x.
Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si v1=x1+y1 , v2=x2+y2 con xi Є W1 y yi Є W2 , entonces v1+ λv2=x1+y1+λ(x2+y2)=(x1+λx2)+(y1+λy2) con x1+λx2 Є W1 y y1+λy2 Є W2
Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que:
T(v1+ λ v2)=x1+λ x2=T(v1+λ T(v2)
En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo:
W2= {(X , X) / X Є R }
En efecto, es claro que W2 es un subespacio de R^2 y W1 --- W2= (0 , 0)
Además, cada (X , Y) Є R^2 se escribe como:
(x,y) = (x-y,0) + (y,y) Є W1 --- w2
Todo esto demuestra que R^2 = W1+W2
Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:
T(x,y)=(x-y,0)
BIBLIOGRAFIA
ALGEBRA LINEAL STANLEY I. GROSSMAN 6TA Y 1RA EDICION
GARETH WILLIAMS ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES 4TA EDICION MC. GRAW-HILL
GEORGE NAKOS. DAVID JOYNER. ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES ED- THOMSON
ITESCO ITESCO ING. QUIMICA 3° “B”
ALBINO VERGARA CONCEPCION CITLALI
BALDERAS VERGARA CESAR
BONAPARTE FLORES RUBICELIA
CASTILLO ESPINOSA ALEJANDRO
DIAZ RAMOS JOSE IGNACIO
MILLAN JIMENEZ ERIKA
LOPEZ MARTINEZ MONSERRAT DEL CARMEN
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Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:
- Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
- En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.
pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.
- En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
- En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
- Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.
pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.
pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.
- PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
- Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
- Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.
- Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.
pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.
pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.
- Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
- Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.
pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.
pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.
pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.
pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:
1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.
pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.
2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.
3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.
4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.
- Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
- PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
- Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)
pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.
- Crear al menos dos archivos de audio mp3:
1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)
2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)
3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.
4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:
- Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
- Para producir video se pueden usar tres fuentes:
1) Localizar Videos apropiados en Youtube.
2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.
3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.
3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.
- Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
- Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
- Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.
Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.