Ecuación Vectorial
Ésta expresa una recta en términos de 2 vectores: el vector posición de un punto cualquiera de la recta (<x,y,z>), y el vector dirección de la recta (<a,b,c>) multiplicado por una constante (en este caso lambda). Este último se obtiene fácilmente, con la diferencia de las coordenadas de dos puntos de la misma.
Por ejemplo, para la recta
y = 3x + 8
si sustituimos los valores de x=0 y x=1, obtenemos los dos puntos (0,8) y (1,11).
Restando las coordenadas correspondientes de x e y, 11–8 = 3, 1–0 = 1. Por lo tanto, el vector dirección de la recta es o <1,3>.
Sabiendo que (0,8) es un punto de la recta, podemos escribir su ecuación vectorial de la siguiente forma:
Generalizado para rectas en 3 dimensiones, la que pasa por los puntos (3,6,1) y (2,5,8), tiene vector dirección <2–3, 5–6, 8–1> = ←1,−1,7>, y por lo tanto, su ecuación vectorial podría ser
Con λ = 0 tenemos el punto (3,6,1), y con λ = 1 se obtiene el (2,5,8).
Ecuaciones Paramétricas
Estas podrían considerarse el desarrollo de la ecuación vectorial, ya que representan las coordenadas de un punto de la recta en términos de una variable independiente λ o t.
Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos la ecuación vectorial
sus ecuaciones paramétricas son
x = 3 + λ( − 1) = 3 − λ
y = 6 + λ( − 1) = 6 − λ
z = 1 + λ(7) = 1 + 7λ
Sustituyendo los mismos valores de lambda que en la ecuación anterior, podemos llegar a los puntos correspondientes.
Ecuación Continua
A estas se llega despejando la variable independiente (λ o t) en las ecuaciones paramétricas, e igualando todas las ecuaciones resultantes. La forma general de la ecuación continua es:
(x-x0)/a=(y-y0)/b
Por lo tanto
Cuando una de las variables no está en términos de la variable independiente (es constante), no se deja en la triple igualación, sino que se coloca aparte, después de un “punto y coma”
Esto significa que en las ecuaciones paramétricas, la variable lambda o t no aparecía en la ecuación de la variable que queda aparte, y por lo tanto, que el vector dirección tiene un componente cero en esa posición.
Para esa última recta, las ecuaciones paramétricas serían
x = 5λ − 4
y = 15λ + 7
z = 5
Y la ecuación vectorial:
