Ecuación de continuidad. Escribo las siguientes líneas para hacer mención a una ecuación que aparece en la Física por doquier, relativa a la conservación de una magnitud que caracteriza a un objeto (masa, carga eléctrica) y su correspondiente densidad: la ecuación de continuidad.
Esta ecuación domina tanto los circuitos de corriente continua como el estudio de los fluidos en régimen laminar (sin turbulencias). Esto hace que sea posible establecer una analogía entre electricidad e hidráulica, puesto que ambas están regidas por la misma ecuación diferencial, la ecuación de continuidad.
La expresión de la ecuación de continuidad es la siguiente:
El primer término es la variación temporal de la densidad, representada por la derivada parcial de rho con respecto al tiempo.
El segundo término es la divergencia de la densidad de corriente, que nos da el balance de flujo que entra o que sale del volumen que consideramos.
En conjunto, nos está diciendo que la variación de la densidad con el tiempo es igual al balance entre la incorporación y el abandono de masa (o carga eléctrica, etc) del sistema por el hecho de llevar una determinada velocidad.
Si la densidad del fluido permanece constante, el primer término no varía con el tiempo y por tanto se anula. Nos queda que la divergencia de la densidad de corriente vale cero, es decir la masa que entra por un lado es igual a la masa que sale por otro lado. Esto es lógico, ya que si no toda la masa saliera, la densidad se incrementaría y eso sería una variación.
Sin entretenernos más de la cuenta en las matemáticas, físicamente la ecuación de continuidad nos habla de la conservación de la magnitud asociada a la densidad (masa por unidad de volumen, carga por unidad de volumen, etc). Si un sistema no tiene ni pérdidas ni ganancias de materia, la densidad del mismo será constante.
Pensemos en un circuito hidráulico cerrado. Si no hay grifos ni alcantarillas que incorporen fluido, el total de fluido es siempre igual, luego la masa permanece constante. Si en cambio hay un grifo en un lado y una alcantarilla en otro, la ecuacion de continuidad nos dice que no importa cuanta agua entre o salga, el fluido que se queda dentro siempre va a ser el balance entre lo que entra y lo que sale.
Por contradictorio que parezca, es más sencillo el análisis de circuitos eléctricos ya que la conservación de la carga es una de las leyes más fundamentales y conocidas del universo. La carga ni se crea ni se destruye.
Esto se ve muy fácilmente en el siguiente ejemplo:
Supongamos que vamos un día al centro comercial, calzados con zapatos de goma y cogemos un carro de la compra. Es muy común que la persona que lleva el carro vaya dando calambrazos a los que van con él cada poco. Esto se debe a que el carro va cogiendo la carga del suelo de forma paulatina, ya que al ser el carro de metal se transmite con facilidad a nuestro cuerpo que se va cargando.
Nosotros vamos sobre un material aislante y por eso no cerramos el circuito, vamos acumulando carga hasta que nos tocamos con otra persona que como no está cargada, está a un potencial inferior y la corriente va del potencial más alto al más bajo, luego ahí aparece el vector j en dirección a nuestro amigo, que sufrirá una breve descarga cuyo objeto es compensar la nuestra con la suya.
Al final, los dos quedamos cargados pero de tal modo que la carga neta es la misma siempre, esté en el suelo, esté sobre mí o esté sobre el suelo, sobre mí y sobre otra persona.
Ya para terminar, decir que el hecho de que podamos imaginarnos los circuitos eléctricos como circuitos hidráulicos ayuda mucho a visualizarlo, pero no es casualidad, se debe precisamente a esta ecuación diferencial, la ecuación de continuidad.
