Ecuacion De Bernoulli

ECUACION DE BERNOULLI una ecuacion diferencial conocida como ecuacion de bernoulli tiene la forma:

dy/dx +P(x)y=Q(x)Yⁿ

Donde n es cualquier numero real. Multiplicando la ecuacion por Y^-n se obtiene:

Y^-ndy/dx +P(x)Y^1-n=Q(x)

Suponiendo que n es diferente de 0 y n diferente de 1 la ecuacion puede ser transformada en una ecuacion diferencial lineal usando las siguientes sustituciones:

v=Y^1-n

derivando esto quedaria:

dv/dx=(1-n)Y^-ndy/dx

1/(1-n) dv/dx + P(x)v=Q(x)

dv/dx +(1-n) P(x)v=(1-n)Q(x)

la cual es una ecuacion diferencial lineal en v.

ejemplo:

resuelva la siguiente ecuacion diferencial de bernoulli:

dy/dx +Y=xY³

se multiplica primero la ecuacion por Y⁻³

Y⁻³dy/dx + Y^S-2=x

dado que n=3 se realizan las sustituciones

Y⁻³dy/dx+ Y⁻²=x

v=Y⁻²

dv/dx=−2Y⁻³dy/dx

despues se despeja ñlo que esta en Y

quedaria:

−1/2dv/dx=Y⁻³dy/dx

se sustituye en donde este la Y

−1/2dv/dx +v=x

se despeja para dejar solo dv/dx

dv/dx −2v=−2x

cuando ya esta asi se empieza a esolver por la fomma que ya conocemos

F(x)=−2 r(x)=−2x

v=℮^-⌡−2dx [⌡℮^⌡−2dx r(x) dx]

v=℮^2x [⌡℮^−2x −2x dx]

v=℮^2x [x℮^−2x -⌡−1/2℮^−2x −2 dx + c]

v=℮^2x [x℮^−2x +1/2℮^−2x + c]

v=X+1/2+c℮^2x

como

v=Y⁻²

quedaria:

1/Y²=x+1/2+c℮^2x

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(OJO ES CON MAYUSCULAS )