4) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA GENERALIZADA.
Características: a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. c) c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. d) d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.
Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:
donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra
Ejemplos: 1.En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.
Solución: a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–3−1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra
b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–4−1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra
3.Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a)estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.
Solución: a) N = 12 estudiantes a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses c = 5 Italianos N-a-b-c = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado
b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianos a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses N-a-b = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado n-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado p(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana)
Distribución hipergeométrica Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es
En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja
de modo que podemos decir que
Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo , si su función de probabilidad es
6.4.10.1 Observación Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:
El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,
sin embargo su varianza
no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor, , que tiende a 1 cuando . A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.
