Polinomios de Interpolación con Diferencias de Newton.
Las diferencias de Newton se subdividen en: Diferencias Finitas Divididas Al asumir que los valores de una función f(x) son aproximadamente lineales, dentro de un rango de valores, es equivalente a decir que la razón
es aproximadamente independiente de x0 y x1 en el rango. Esta razón se conoce con el nombre de primera diferencia dividida de f(x), relativa a x1 y x0, y se designa por medio de f[x1 ,x0]. Se puede inferir de la ecuación que f[x1 ,x0] = f[x0 ,x1]. Por tanto, la linearidad aproximada se puede expresar en la forma f[x0 ,x] f[x1 ,x0] lo que nos lleva a la ecuación de interpolación f(x) f(x0)+ (x -x0).f[x0 ,x1] o
o la fórmula equilalente,
Las diferencias divididas de orden 0, 1, 2, …, n se pueden deducir recursivamente por medio de las relaciones siguientes:
Diferencias hacia adelante Suponga que tiene la tabla de valores siguientes: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.4 1.9
La tabla de diferencias divididas es: x f(x)
0.0 0.0 0.2 0.4
0.5 1.9
y, renumerándo i x f(x)
0 0.0 0.0 1 0.2 0.4 2 2 0.5 1.9 5 6
donde y son la primera y segunda diferencia dividida. Newton establece que se puede generar un polinomio a partir de una tabla de diferencias divididas (como la que se presentó anteriormente). Para ello se utiliza la ecuación
Así que para constrir el polinomio que representa el grupo de datos solo se necesitará los tres primeros términos de la ecuación anterior, quedando así:
lo que resulta en un polinomio de segundo grado. La característica de este polinomio es que se construyó utilizando la numeración del índice i en sentido ascendente o de conteo hacia adelante. Este conteo hacia adelante indica que las diferencias están definidas hacia adelante o más bien, utilizando la terminología de Newton, sería una tabla de diferencias finitas “hacia adelante” de Newton.
Diferencias hacia atrás Diferencias centrales
Interpolación por diferencias divididas de Newton El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, , obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:
Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , la pendiente , que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de , con variando en el intervalo . En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma
Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando , y , se obtiene:
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:
Donde para En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores , y . A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos , , y . El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:
