En matemáticas, un diagrama de Hasse es un represenación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La represenación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas, ver la siguiente sección 3 Teoria de Grafos.

Supongamos que tenemos una relación R en A que es relación de orden. Primeramente sabemos que es reflexiva,

antisimétrica y transitiva. Formamos el grafo con los elementos de A, estos son los nodos, y las aristas son conexiones entre nodos relacionados, en este caso es un grafo dirigido. La primera condición es que si dos elementos están relacionados, digamos (a,b) ∈ R entonces dibujamos %blue&b a un nivel superior de a.

Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representar lazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada es reflexiva.

Puesto que la transitividad también está implicada, se puede prescindir de mostrar líneas entre elementos que tengan un elemento intermedio relacionado, pues se sobrentienden.

Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de representar y sobretodo de entender.

Ejemplo1. Consideremos el ejemplo de la sección anterior de los divisores del 40.

A={1,2,4,5,8,10,20,40}, R = D₄₀ la relación divide a.

Si consideramos todas las parejas en la relación tenemos:

D₄₀ = (1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,8),(1,10),(1,20),(1,40),(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,20),(2,40),(4,4),(4,8),(4,20),(4,40), (5,5),(5,10),(5,20),(5,40),(8,8),(8,40),(10,10),(10,20),(10,40),(20,20),(20,40),(40,40)

Los pares azules son las únicas líneas que se dibujan en el diagrama.

Definición. Sea r una relación en A, y supongamos que R es una relación de orden. Se dice que y sigue a x si (x,y) ∈ R y no hay elemento de S entre x y y.

El orden parcial es entonces precisamente la clausura transitiva de la relación de seguir.

El diagrama de Hasse de A se puede entonces definir abstractamente como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que y sigue a x, es decir, el diagrama de Hasse se puede identificar con la relación de seguir.

Attach:MCHasse2.jpg Δ

En el caso de divisibilidad, tomando los divisores de un número entero positivo n, siempre tenemos una relación de orden. Los diagramas de Hasse correspondientes tienen al entero n en la parte superior, el número 1 estará en la parte inferior, y los divisores primos siguen al elemnto inferior. Podemos considerar la parte inferior como el nivel 0, los primos irán colocados en el nivel 1, y así sucesivamente, por niveles hasta llegar al número n.

Podemos considerar en el caso de los divisores de un número que cada nivel, del diagrama de Hasse, corresponde a la cantidad de divisores primos en su factorización, tomando en cuenta factores repetidos, por ejemplo en D₄₀, 40 tiene cuatro factores, por lo tendremos 5 niveles (recordemos que el 1 está en el nivel 0). Así por ejemplo el 10 está en el segundo nivel, pues tiene dos factores 2 y 5, miestras que 20 está en el tercer nivel pues tiene 3 factores, dos veces al 2 y al 5.

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