Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P-1 La matriz P se llama matriz de paso. Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Observación: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. El siguiente teorema establece cuando una matriz es diagonazable. TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por
λ 1 0 … 0
0 λ2 0 … 0
0 0 λ3 … 0
D = . . . .
0 0 0 … λn
donde λ1, λ2, ….. ,λn son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C-1AC Una matriz diremos que es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa.
P orotgonal <=> P-1 = Pt
Si P=(u1|u2|…|un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores {u1,u2,…,un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal.
