1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades

Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primeros seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos axiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener una estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que las que se podrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, se podrá construir un modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas no simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones físicas.

La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un orden total en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.

Axiomas de orden:

El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números reales positivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+

Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple a ∈ R+ o -a ∈ R+ .

Axioma 1.9 El número 0 no está en R+

Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.

Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se toma a < b como una relación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Una de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir, incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una inconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de números positivos. Por lo tanto por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.

Definición Desigualdad.

Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b﷓·a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.

Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.

Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.

De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.

TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.

Si a, b y c son números reales entonces:

i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b
ii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
v) a ≠ 0 ⇒ a2 > 0
vi) 1 > 0
vii) a < b ⇒ -b > -a
viii) a < 0 ⇒ -a > 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo
xi) a > 0 ⇒ 1/a >0
xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d
Como ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan como ejercicio.

Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema

Demostración:

a < b => b-a > 0 por definición de <

pero

b-a = b-a + 0 axioma 5 

    = b-a + c+(-c)       axioma 6

    = b+(-a) + c + (-c)  definición de resta

    = b + c + (-a)+(-c)  axioma 2

    = b +c - (a + c)    inverso aditivo de una suma, directo utilizando la definición de resta

    => a + c < b + c     por la definición de <. @

Desigualdades.

Así como usamos los primeros seis axiomas para resolver ecuaciones, de forma análoga podremos usar los axiomas de orden para desigualdades. Como ya hemos insistido un buen comienzo para entender un tema es conocer los conceptos con los que trabajamos, así que empezaremos por establecer el concepto de desigualdad.

Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizando alguno de los cuatro símbolos siguientes <, >, < ó >; le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad.

Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposición resulta verdadera.

Ejemplo 1.10 Resolver la desigualdad 2x ﷓1 > 5.

Solución: 

     2x ﷓ 1 > 5     =>

 2x ﷓ 1 + 1 > 5 + 1 =>

         2x > 6     =>

          x > 3

por lo que el conjunto solución será {x : x > 3}, hacemos notar que los pasos se podrían hacer a la inversa por lo que la desigualdad 2x﷓1>5 es equivalente a la desigualdad x>3, por lo que la solución es la correcta. Sería más conveniente sustituir los símbolos => por <=>.

Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es conveniente asociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica. Escogemos 0 como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la derecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en forma proporcional de manera que un número mayor que otro esté siempre a la derecha; como se puede ver en la figura: 

     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓
         ﷓4   ﷓3   ﷓2   ﷓1    0    1    2    3    4

También es conveniente definir los conjuntos de números entre dos números dados, los cuales jugarán un papel preponderante en la solución de ecuaciones. 

     Definición 1.3 Intervalos numéricos. Si a, b son números reales con a < b definimos:

[a,b] = {x : a < x < b} [a,b) = {x : a < x < b} (a,b] = {x : a < x < b} (a,b) = {x : a < x < b} [a,oo) ={x : x > a} (a,oo) ={x : x > a} (-∞,b] = x (-∞,b) = x

El símbolo oo (infinito) no es un número, y significa que el valor numérico de la variable x puede ser arbitrariamente grande, igualmente ﷓oo indica que la variable no está limitado inferiormente.

Con estas definiciones vemos que la solución del ejemplo 2.10 quedará como el intervalo (3,oo).

Ejemplo 1.11 Resuelva la desigualdad x/2 + (x+1)/3 > 10

Solución: 

     x   x+1
     ﷓ + ﷓﷓﷓ > 2        es equivalente a
     2    3

     3x+2(x+1)
     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ > 2      y ésta equivale a
         6

     3x+2(x+1) > 12     efectuando operaciones tenemos

     5x + 2 > 12        la cual equivale a

         5x > 10        y finalmente

          x > 2         por lo tanto, la solución es

     (2,oo) y su gráfica



     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓
         ﷓4   ﷓3   ﷓2   ﷓1    0    1    2    3    4

Algunas veces cuando se trabaja con dos desigualdades se pueden combinar de tal forma que uno de los términos sea común y se puede usar una notación que simplifica su manejo. 

     a < b < c significa que a < b   y   b < c.

Ejemplo 1.12 Si 5x+1 está en [﷓1,2], dónde está x?

Solución: Si 5x+1 está en [﷓1,2] entonces tenemos 

     ﷓1 < 5x+1 < 2       por lo tanto

     ﷓1﷓1 < 5x < 2﷓1

       ﷓2 < 5x < 1

     ﷓2/5 <  x  < 1/5

entonces x está en el intervalo [﷓2/5,1/5]

Ejemplo 1.13 x está en [﷓2,3], dónde está 2x+1?

Solución: Si x está en [﷓2,3] entonces 

     ﷓2 <  x < 3  por lo que

     ﷓4 < 2x < 6   de aquí

     ﷓3 < 2x+1 < 7  por lo que concluimos que

2x+1 está en el intervalo [﷓3,7].

De la propiedad (ix) del teorema 2.2 vemos que también se cumple que a/b positivo sí y sólo si los dos números son positivos ó los dos son negativos, usando la propiedad (xi). Lo mismo si el producto o cociente de dos números es negativo uno es positivo y otro negativo, Propiedad (x) del mismo teorema.

Esto lo podemos usar para solución de desigualdades.

Ejemplo 1.14 Resolver la desigualdad x2﷓x﷓6 > 0

Solución:

Vemos que x2﷓x﷓6 = (x﷓2)(x﷓3) por lo que 

     x2﷓x﷓6 > 0 es equivalente a la expresión

     (x﷓2>0 y x﷓3>0)  ó  (x﷓2<0 y x﷓3<0) y esto a su vez a

     (x>2 y x>3)  ó  (x<2 y x<3)   finalmente esto equivale a

     x > 3  ó  x < 2  puesto que la “y” equivale a intersección

por lo tanto tenemos que el conjunto solución es: 

     (﷓oo,2) U (3,oo)


     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓
         ﷓4   ﷓3   ﷓2   ﷓1    0    1    2    3    4

Ejemplo 1.15 Resolver la desigualdad 2×2+5x﷓3 < 0

Solución:

Vemos que 2×2+5﷓3 = (2x﷓1)(x+3) por lo que 

     2×2+5﷓3 > 0 es equivalente a la expresión

     (2x﷓1>0 y x+3<0)  ó  (2x﷓1<0 y x+3>0) y esto a su vez a

     (x>1/2 y x<﷓3)  ó  (x<1/2 y x>﷓3)   finalmente esto es

     (x<1/2 y x>﷓3)      porque el segundo paréntesis es vació

por lo tanto, tenemos que el conjunto solución es: 

     (﷓3,1/2)


     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓
         ﷓4   ﷓3   ﷓2   ﷓1    0    1    2    3    4

Ejemplo 1.16 Resolver (x+5)/x > 2

Solución.

Primeramente vemos que la desigualdad es equivalente a 

     (x+5)/x ﷓2 > 0      y efectuando operaciones tenemos

     (x+5﷓2x)/x >0

     (5﷓x)/x > 0

Aquí podríamos aplicar el mismo criterio que el ejemplo anterior, sin embargo usaremos un camino distinto para presentar una alternativa que es útil conocer

Utilizaremos las propiedades multiplicativas, teorema 2.2 (iii) y (iv).

Caso I) Si x>0 entonces por la primera propiedad multiplicativa en este caso la desigualdad es equivalente a 

     5﷓x>0 y x>0         o sea

     x < 5 y x > 0       tenemos por lo tanto el intervalo

     (0,5)

Caso II) Si x<0 la desigualdad es equivalente, usando la segunda propiedad multiplicativa a 

     5﷓x<0 y x<0         o sea

     x>5 y x<0           lo cual es imposible, o sea el conjunto 
                         vacío;

     de los dos casos concluimos que la solución es el primer conjunto, o sea:

     (0,5),    gráficamente

     ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓
         ﷓2   ﷓1    0    1    2    3    4    5    6
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