como |x| da la distancia entre un numero x y el origen, la solucion de la desigualdad |x|<b,si b›0 es el conjunto de los numeros reales x que estan en una distancia menor que b unidades respecto al origen.
|x|<b si y solo si -b<x<b
por otra parte, la solucion de la desigualdad |x|›b es el conjunto de los numeros reales que estan a una distancia mayor que b unidades respecto al origen entonces:
|x|›b si y solo si |x|›b o bien x←b
__(_________)____ ____)_________(_____ -b 0 b -b 0 b
|x|‹b |x|›b
los resultados anteriores son validos cuando < y > se sustituyen por <= y >=, respectivamente y cuando x se remplaza con x-a, por eljemplo :
|x-a|<=b, si b›0 representa el conjunto de numeros reales x cuya distancia al numero, si a es menor o igual que b unidades.
|----| b unidades
____[_________]_______
a-b a a+b
Ejemplos:
|x-1|<3
se quita el simbolo de valor absoluto y se pasa el valor del otro lado con signo negativo,quedando asi;
−3<x-1<3 -3+1<x-1<3+1 -2<x<4
la solucion es el intervalo abierto (−2,4)
|x|›2
se entiende rapidamente que
x>2 o bien x←2
la socion queda en la union de los intervalos (-,−2)u(2,)
0‹|x-2|<=7
la desigualdad dada significa que 0‹|x-2| y |x-2|<=7 en el primer caso 0‹|x-2| es verdadero para todo los numeros exepto x=2 el segundo caso tiene que:
−7<=x-2<=7 -7+2<=x-2+2<=7+2 -5<=x<=9
el resultado de esta es el intervalo cerrado de [−5,9] que satisface el resultado de la otra desigualdad que acepta a todos lo numeros exepto el 2 asi que uniendo estos resultados el conjunto solucion seria:
[−5,2)U(2,9]
atte:
Ing. Bo
