Sea continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). (i) Si f’(x)>0 para toda x en (a, b) entonces f es creciente en [a, b] (ii) Si f’(x)<0 parta toda x en (a, b) entonces f es diferente en [a, b]
Ejemplo: Determinar los intervalos en los No esta definida en 0. Puesto que 0 esta en el dominio de f, se concluye que es un valor critico. Utilizando los hechos de que <0 para X<0 y >0 para x > 0 se llega a la información dada de la tabla.
Intervalo Signo de la f’(x) Y=f(x) (-∞,0] - decremento [0, ∞) + incremento MAXIMOS Y MINIMOS Supóngase que una función f esta definida en un intervalo I. Los valores máximos y mínimos de f en I (si hay algunos) se llaman extremos de la función. En las dos siguientes definiciones, se distingue dos clases de extremos.
Extremos absolutos (i) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≤ f (c1) para toda x en el dominio de f. (ii) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≥ f (c1) para toda x en el dominio de f.
Los extremos absolutos se denominan también extremos globales.
Ejemplos a) Para f(x)=sen x, su máximo absoluto es y su mínimo absoluto es b) La función f(x)=x2 tiene el mínimo absoluto f(0)=0 pero no tiene máximo absoluto c) no tiene máximo ni mínimo absoluto
Concavidad
A menudo se dice que una forma es cóncava hacia arriba “retiene el agua” mientras que una forma cóncava hacia abajo “Derrama el agua”
Sea f diferenciable en (a, b) (i) Si f’ es una función creciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo (ii) Si f’ es una función decreciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo.
En otras palabras, si la pendiente de la recta tangente aumenta (disminuye) en (a, b), entonces la grafica de la función es cóncava hacia arriba (abajo) en el intervalo. En forma equivalente, la grafica de la función es cóncava hacia arriba en un intervalo, si en cualquier punto de la grafica esta situado por encima de la tangente en el punto. Una grafica que es cóncava hacia abajo en un intervalo esta situado por debajo de las rectas tangentes.
Ejemplos:
Encontrar todos los puntos de inflexión de f(x)=-x3+x2
Solución: Las derivadas primera y segunda de f son, respectivamente. f’(x)=−3×2+2x y f’’(x)=−6x+2 Puesto que f’’(x)=0 en , el punto , es el único punto de flexión posible. Ahora bien: f’’(x)=6(-x+ )>0 para x< f’’(x)=6(-x+ )<0 para x> Implica que la grafica de f es cóncava hacia arriba en (-∞, ) y hacia abajo en ( , ) es un punto de inflexión
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y DE LA SEGUNDA DERIVADA El saber si una función tiene o no tiene extremos relativos es de gran ayuda para trazar la grafica de una función. Y se conciben dos criterios para determinar cuando un valor crítico es un extremo relativo. Estos valores críticos son: primera derivada y segunda derivada.
Primera derivada
Supongase que f es diferenciable en (a, b) y que c es un valor critico en el intervalo. Si d’(x)<0 para todo x en (a, c) y f’(x)<0 para todo x en (c, b), entonces la grafica f sobre el intervalo (a, b) debe ser como se indica.
Esto es f© es un máximo relativo. Por otra parte, cuando f’(x)<0 para todo x en (a, c) y f’(x)>0 para todo x en (c, b)entonces f© es un mínimo relativo.
Extremos relativos Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), excepto posiblemente en el valor critico de c. (i) Si f’(x)>0 para a<x<c y f’(x)<0 para c<x<b, entonces f© es un máximo relativo. (ii) Si f’(x)>0 para a<x<c y f’(x)<0 para c<x<b, entonces f© es un máximo relativo.
Da lugar a los valores críticos −1 y 3. Ahora el criterio de la primera derivada es esencialmente el procedimiento empleado para encontrar los intervalos en los que f es creciente y decreciente. f’(x)>0 para -∞<x←1 f’(x)<0 para −1<x<3 De tal manera que (i) f(−1)=7 es un máximo relativo (ii) f(3)=25 es un mínimo relativo
Segunda Derivada Si c es un valor critico de Y=f(x) y digamos f’’©>0, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en cierto intervalo (a, b) que contiene a c. Entonces f© es, necesariamente un mínimo relativo. De manera semejante, f’’© es un máximo relativo. Esto se llama anterior de la segunda derivada.
ENTREMOS RELATIVOS. Sea f una función para la cual f’’ existe en un intervalo (a, b) que contiene al numero critico c. (i) Si f’’©>0, entonces f© es un mínimo relativo (ii) Si f’’©<0, entonces f© es un máximo relativo
Ejemplo: Traer la grafica de f(x)=x4-x2 Solución: f’(x)=4×3–2x=2x(2×2–1) f’(x)=12×2–2 Por consiguiente, los valores criticos de f son 0, - y .
x signo de f’’(x) f(x) conclusión 0 - 0 máximo relativo
+ -¼ mínimo relativo - + -¼ mínimo relativo
Ahora bien, d f(x)=x2(x2–1)=x2(x+1)(x-1)se ve que la grafica f pasa por (0, 0), (−1,0) y (1,0). Además como f es un polinomio con potencias pares solamente se incluye que su grafica es simétrica con respecto al eje y (función par ).
