En la ecuación y^3 + 7y = x^3

no podemos despejar a y en términos de x. Sin embargo, aún pede ser el caso de que exista exactamente una y correspondiente a cada x. Por ejemplo, podemos preguntar qué valores de y (si existe alguno) corresponde a x=2. Para responder esta pregunta debemos resolver

y^3 + 7y = 8

Desde luego, y=1 es una solución, y resulta que y = 1 es la única solución real.Dado x = 2, la ecuación y^3 + 7y = x^3 determina un correspondiente valor de y. Decimos que la eciación define a y como una ecuacion IMPLICITA de x. Al graficar, se ve como la gráfica de una función derivable. El nuevo elemento es que no tenemos una ecuación de la forma y = f(x). Con base a la gráfica, suponemos que y es alguna función desconocida de x. Si denotamos a esta función como y(x), podemos escribir la ecuacion como

[y(x)]^3 + 7y(x) = x^3

Aunque no tenemos una fórmula para y(x), podemos,

a pesar de eso, obtener una relación entre x, y(x) y y’(x), por medio de la derivación, con respecto a x, de ambos lados de la ecuacion. Recordando aplicar la regla de la cadena, obtenemos

d/dx (y^3)+ d/dx (7y) = d/dx x^3

3y^2 dy/dx + 7 dy/dx = 3x^2

dy/dx (3y^2 + 7) = 3x^2

dy/dx = (3x^2)/(3y^2 + 7)

Observese que nuestra expresion para dy/dx incluye tanto a x como a y, un hecho que con frecuancia es una molestia. Pero si solo deseamos determinar la pendiente en un punto en donde conocemos ambas coordenadas, no existe dificultad. En (2,1),

dy/dx = 3(2)^2 / [3(1)^2 + 7]= 12/10 = 6/5

La pendiente es 6/5.

El metodo que se acaba de ilustrar para determinar dy/dx sin despejar primero de la ecuacion dada a y de manera explicita en terminos de x se denomina DERIVACION IMPLICITA. Pero, ¿el metodo es legitimo?, ¿da la respuesta correcta?

UN EJEMPLO QUE PUEDE VERIFICARSE:

Encuentre dy/dx, si 4(x^2)y - 3y = x^3 - 1.

Solucion:

Metodo 1 Podemos despejar explicitamente a y de la ecuacion dada como sigue:

y(4x^2 - 3) = x^3 - 1

y= (x^3 - 1)/(4x^2 - 3)

Asi,

dy/dx=[(4x^2 - 3)(3x^2) - (x^3 - 1)(8x)]/(4x^2 - 3)^2 =(4x^4 - 9x^2 + 8x)/(4x^2 - 3)^2

Metodo 2 Derivacion implicita Igualamos las derivadas de los dos lados.

d/dx(4(x^2)y - 3y ) = d/dx(x^3 - 1)

Despues de utilizar la regla para el producto en le primer termino, obtenemos

4x^2.dy/dx + y.8x - 3 dy/dx = 3x^2

dy/dx(4x^2 - 3) = 3x^2 - 8xy

dy/dx = (3x^2 - 8xy)/(4x^2 - 3)

Estas dos respuestas se ven diferentes. Por algo, la respuesta obtenida por el metodo 1 incluye solo a x, mientras que la respuesta del metodo 2 incluye a ‘x’ y a ‘y’. Sin embargo, recuerde que de la ecuacion original podia despejarse a ‘y’ en terminos de ‘x’ para obtener y=(x^3 - 1)/(4x^2 - 3). Cuando sustituimos y=(x^3 −1)/(4x^2 - 3) en la expresion que se acaba de obtener para dy/dx, obtenemos lo siguinte:

dy/dx=(3x^2 - 8xy)/(4x^2 - 3)=[3x^2 - 8x((x^3 - 1)/(4x^2 - 3))]/(4x^2 - 3)

= (12x^4 - 9x^2 - 8x^4 + 8x)/(4x^2 - 3)^2

Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:

  • Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.

pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.

  • En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
  • Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.

pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.

  • PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
  • Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
  • Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.

  • Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.

pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.

pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.

  • Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
  • Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.

pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.

pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

  • Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
  • PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
  • Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

  • Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:

  • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

  • Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en Youtube.

2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

  • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
  • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
  • Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.

Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.