Funciones implícitas y su derivada
Al considerar la función con ecuación , es posible determinar con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente .
Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:
Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para “y” en términos de “x”. Se dice que la función está definida implícitamente por las ecuaciones:
respectivamente.
Note que ambas expresiones son de la forma general .
Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.
Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:
Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar se debe utilizar la regla de la cadena.
Se tiene entonces derivando:
Despejando se tiene que:
Sustituyendo “y” por se obtiene:
b. derivando
El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.
Por ejemplo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún valor real de “x” y “y”. Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que de donde , fórmula que parece tener significado para “x” y “y” siempre que , aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuación dada no especifica ninguna función .
La derivación implícita determina una fórmula para , que es válida para toda función derivable tal que esté definida implícitamente por una ecuación dada.
Ejemplos:
Suponiendo que existe una función derivable tal que está definida implícitamente por la ecuación , calcular
Solución:
Derivando implícitamente se obtiene:
Note que hemos trabajado como si .
En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.
aqui les dejo la pagina donde encontraras todo espero les sirva mucho: