Derivadas de funciones vectoriales
La derivada de una función vectorial r es
r’(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]
TEOREMA
Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces
r’(t) =< f’(t). g’(t).h’(t)>
Interpretación geométrica de r’(t)
Si el vector r’t no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.
r = r(t + t) - r(t)
r/ t = 1/t [r (t + t)-r(t)
Ejercicios:
1.-Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o” t “ 2″. Trace r’(0) y r’(“/6)
Eliminando el parámetro de las ecuaciones parametricas x = cos 2t
Y =2 sen t 0″ t “ 2″ encontramos que C es la parábola x = 1–2y2
-1″ x” 1
r’(t) = −2 sen 2 ti + cos tj
r´(0) = j y r’(“ /6) = -“3i + “ /2 J
r’(“ /6) y
r’(0)
x
(1,0)
2.- obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones
x = t2 y = t2 - t z = −7 t
en t =3
la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es
r(t) = r2 i + (t2 -t )j - 7 tk
r’t = 2 ti + (2t −1)j −7k
r’(3) = 6i + 5j −7k.
Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es
r’(3)= 9i +6j −21k
esto es, p(9,6,−21). Empleando las componentes de r’(3), vemos que
x =9 + 6t y =6 +5t z = −21 −7t
son ecuaciones parametricas de la recta tangente.