DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

DEPENDENCIA LINEAL DE DOS FUNCIONES

y1(x) y y2(x) son lienalmente dependientes en un intervalo abierto, donde ambas estan definidassi son proporcionales en dicho intervalo esto es:

si y1=k1y2 o y2=k2y1

donde:

k1 y k2 son constantes.

INDEPENDENCIA LINEAL

Si y1(x) y y2(x) son proporcionales en el intervalo son linealmente independientes en el mismo.

si y1/y2 es una constante entonces las funciones

son linealmente dependientes.

Si y1/y2 es una funcion de x, entonces las funciones son linealmete independientes.

ejemplos:

1).- y1=x y2=2x 

          y1/y2=x/2x=1/2



            entonces es linealmente dependientes

2).- y1=℮−2x y2=1/4℮−2x 

          y1/y2= ℮−2x/1/4℮−2x=4 



            entonces es linealmente dependiente

3).- y1=7 y2=x2 

          y1/y2=7/x2

DEPENDENCIA E INDEOENDENCIA LINEAL CON EL METODO WRONSKIANO

Las funciones y1(x1), y2(x2),…,yn(xn)

son lienalmente dependientes en el intervalo, si al menos una de ellas puede expresarse como combinacion lineal de las otras.

en caso contrario las funciones son linealmente independientes.

wronskiano igual a cero es dependientes

wronskiano diferente de cero independiente

ejemplos: 

  1).-   y1=℮x  y2=℮-x  y3=℮2x



   w= ℮x   ℮-x   ℮2x   ℮x  ℮-x

      ℮x   -℮-x  2℮2x  ℮x  -℮-x

      ℮x   ℮-x   4℮2x  ℮x  ℮-x



   w=−4℮2x+2℮2x+℮2x+℮2x−2℮2x−4℮2x

   w=−6℮2x

  por lo tanto es linealmente independiente



 2).-    y1=x      y2=2x



   w= x  2x

      1  2



   w=2x-2x=0 

   por lo tanto es linealmente dependiente