6.1 DEFINICIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Diferenciales Parciales
Una cantidad física puede ser expresada por una función de dos o más variables. Si queremos saber el comportamiento de tal función sin conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una ecuación tal que ésta este en función de sus derivadas parciales. Existen distintos fenómenos que pueden ser descritos por una misma ecuación.
En general:
DEFINICION: Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una relación de la forma:
F (x, t, u, ux1, , …, uxn−1 , ut, …, Dαu) = 0
donde: u = u(x, t) es una función de la variable independiente
x = (x1, …, xn−1) ∈ Rn−1 y de la variable temporal t ∈ R, además de ser la incógnita; y α = (α1, …, αn) es un multiíndice perteneciente a Zn + ⊂ Rn,
de tal forma que Dαu denota una derivada parcial iterada de u de orden |α| = α1 + α2 + … + αn, en la que derivamos α1 veces con respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj .
Observemos que |α| es el orden de la derivada Dαu. Por definición si α = (0, 0, …, 0) entonces Dαu ≡ u. Podríamos simplemente denotar a t como la variable xn, puesto que es una más de las variables consideradas. Sin embargo, de acuerdo con nuestra concepción del universo, es conveniente distinguir la variable temporal de las demás.
La notación que usaremos será como sigue:
Consideremos una función u que depende solo de dos variables independientes x e y. Usualmente se escribe de la siguiente forma
u = u(x, y)
lo cual, en este caso, designa a u como una función de las variables independientes x e y. Las derivadas parciales las escribiremos como sigue:
con lo anterior podemos representar a una EDP en forma general como en, donde F es una función de las variables indicadas y al menos una derivada parcial existe.
Así una EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se le denomina lineal, es decir, si F puede ser expresada como una combinación lineal de u y sus derivadas. Si además dependen de la propia función o de alguna de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal.
