Consideremos una matriz n-cuadrada A sobre un cuerpo K. recordemos que A induce una funci¨®n f:Kn Kn definida seg¨ n F(X) = AX Donde X es cualquier punto (vector columna) en Kn . Supongamos que se elige una nueva base Kn, digamos S= {u1, u2,¡¡..un} Sea P la matriz cuyas columnas son los vectores u1, u2,¡.un. En ese caso, P es la matriz de cambio de base desde la usual E hasta la S. X¡¯P-1 Proporciona las coordenadas de X en al nueva base S. Asimismo, la matriz B = P-1 AP Representa la funci¨®n f en S; esto es, f(X¡¯) =BX¡¯
Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. un escalares se denomina un valor propio de A si existe un vector no nulo v km para el que
Av= v
Todo vector que satisfaga esta relaci¨®n se llama vector propio de A perteneciente al valor propio n¨®tese que cada m¨ ltiplo escalar Kv es a su vez un vector propio, puesto que
A (kv) = k (Av) = k (v) = (kv) El conjunto E de todos lo vectores propios pertenecientes a en un subespacio de Kn conocido como espacio propio de . Los t¨¦rminos valor caracter¨ªstico y vector caracter¨ªstico se utilizan con frecuencia en lugar propio y vector propio
Encontrar los valores caracter¨ªsticos de al matriz
TEOREMA: Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Un escalar K es un valor propio de A 2. La matriz M = I ¨C A es singular. 3. El escalar es una ra¨ªz del polinomio caracter¨ªstico (t) de A. 4. El espacio propio Ede ser¨¢ el espacio soluci¨®n del sistema homog¨¦neo MX = (I ¨C A) X =0. Se denominan valores propios o ra¨ªces caracter¨ªsticas de una matriz cuadrada A, a los valores de tales que.
A veces resulta mas convenientes resolver el sistema (A -I )=0 que el |(I ¨C A)=0, cuando se calculan vectores propios. Por supuesto, ambos sistemas conducen al mismo espacio soluci¨®n.
Algunas matrices pueden no tener valores propios ni, por tanto, vectores propios. No obstante, haciendo uso del teorema fundamental del algebra (todo polinomio sobre C tiene una ra¨ªz) y llegamos al siguiente resultado.
TEOREMA: Sea A una matriz n-cuadrada sobre el cuerpo complejo C. Entonces A tiene al menos un valor propio.
Supongamos ahora que es un valor propio de la matriz A. la multiplicidad algebraica de es la multiplicidad de como ra¨ªz del polinomio caracter¨ªstico de A la multiplicidad geom¨¦trica de --- es la dimensi¨®n se su espacio propio.
TEOREMA: Sea un valor propio de una matriz A. la multiplicidad geom¨¦trica de no excede su multiplicidad algebraica.
Sea A una matriz de n x n con elementos reales. El n¨ mero ¦Ë (real o complejo) recibe el nombre de valor caracter¨ªstico de A si existe alg¨ n vector diferente de cero a en Cn tal que: Av=¦Ëa Se dice que el vector a¡Ù0 es un vector caracter¨ªstico de A correspondiente al valor caracter¨ªstico ¦Ë.
