INTRODUCCIÓN
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes. Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos: ¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible? Si tiene soluciones ¿cuántas y cuales son? Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas. ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER
5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una función de V en W . T es una transformación lineal, si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u + v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar. Transformación lineal nula
Transformación lineal identidad
Homotecias
Con
Si |k| › 1 se denominan dilataciones Si |k| < 1 se denominan contraccionees
5.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 1.
Si T es una transformación lineal , entonces
2. T(o)=0 Demostración: Hipótesis: T es una transformación lineal
Esto es una combinación lineal!!
Extendiendo para n vectores: principio de superposición (e.g. Si una señal de entrada es una combinación lineal de sus señales de entradas, la respuesta del sistema es la misma combinación lineal de Respuestas a las señales individuales)
