Definicion Nucleo Kernel Transformacion Lineal

Núcleo (kernel) e imagen

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

    \operatorname{Ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

    * Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

    * El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

   1. 0_V \in Ker(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W
   2. Dados u , v \in Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in Ker(T)
   3. Dados u \in Ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Ker(T)

    * Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Ker(T))

    \operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}

    * O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
    * La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
    * El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

    rg(T) = dim(Im(T))