Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Definición 1 Se dice que una función es una primitiva de otra función sobre un intervalo si para todo de se tiene que .
Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en . Entonces, para todo de , . Es decir dada una función sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por a una constante cualquiera).
Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina integral indefinida de y se denota por . De manera que, si es una primitiva de ,
DEFINICIÓN.
Es el proceso contrario a la derivación.
Dada una función f(x), se trata de calcular otra F(x) tal que F’(x)=f(x). Por ejemplo:
la derivada de y=5x es y’=5, la derivada de y=5x+3 es y’=5, la derivada de y=5x-2 es y’=5. Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. El conjunto de todas las primitivas de una función se denomina integral indefinida, y se representa:
. En nuestro ejemplo, en donde dx indica cual es la variable (en este caso sólo existe una posible) y c es la cte.
Cualquier tabla de derivadas, leída al contrario, se convierte en una tabla de integrales.
PROPIEDADES.
1. La integral de la derivada de una función es la función.
2. La integral de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de las funciones:
3. La integral del producto de dos funciones es el producto de las integrales de las funciones:
4. La integral del producto de una constante por una función es el producto de la cte por la integral de la función:
TIPOS DE INTEGRALES. 1. TIPO POTENCIAL
siendo n<>−1
Ejemplos:
si en vez de ser x es una función de x:
Ejemplo:
En el caso de ser n=−1, tenemos una integral de tipo logarítmico, como veremos posteriormente. 2. TIPO EXPONENCIAL.
y en el caso de tratarse de una función:
Ejemplos: 3. TIPO LOGARÍTMICO.
Es el caso comentado en las de tipo potencial cuando n=−1.
Ejemplos:
4. TIPO SENO.
5. TIPO COSENO.
6. TIPO TANGENTE.
y por lo tanto: 7. TIPO COTANGENTE.
8. TIPO ARCOSENO.
9. TIPO ARCOTANGENTE
EJERCICIOS:
