EL TEMA Definicion Integral Definida 7.- Definición de integral definida
Como has visto, hemos definido la integral como un límite.
Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora.
Recuerda que en el apartado anterior hemos definido la norma de una partición.
La relación entre la norma y el nº de subintervalos que tomemos en una
partición general [a,b] será:
(b-a) / ||∆|| ≤ n
Si la norma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b])
tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.
El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalos
no implica necesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición
del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:
Como ves, los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños,
cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita
que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente:
El que exista dicho límite implica que para todo ε > 0, existirá un δ > 0
tal que si:
| ∆ | < δ |
entonces se cumple
Intuitivamente ésto quiere decir que:
A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L.
Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integral definida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b]
(única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida
va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)
Y existe el límite
(tal y como lo hemos definido arriba)
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]
y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales definidas se basa en el Teorema fundamental del Cálculo
(descubierto por distintos caminos por Newton y Leibniz).
Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones inversas
y que para calcular la integral se realiza una antiderivación
que consiste en hallar una función primitiva F(x) de aquella a la que se le quiere
calcular la integral f(x) y operar de la siguiente forma:
( F’(x) = f(x) + cte. )
¡¡ OJO !!
La integral definida da como resultado un número
mientras que la integral indefinida da como resultado una función.
(aunque si el límite superior de integración es una variable,
el resultado de la integral definida es una función)
la integral definida a diferencia de las demas esta determinada por dos limites con respecto a que eje quieras determinar, su area si es con respecto al eje “x” el limite superior esta determinado por b y el limite inferior por “a” con respecto al eje “x” los limites a,b son los valores que se encuentran en el eje de las abscisas a se debe de suponer que se encuentra en el lodo izquierdo y b en el lado de la derecha co respecto a dicho eje esto nos sirve para determinar dicho limite de la ecuacio y al momento de integra sustituyas esos valores que haya asignado a ambos valores.
