4.1 Definición de espacio vectorial y propiedades
Definicion: Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos), en el que llamaremos por: 0 (cero) al elemento nulo. 1 (uno) al elemento unidad.
Un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (•), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si: V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Respecto a su ley de composición externa (•), (producto por un escalar), se cumple: 1
2
3
4
Definido un espacio vectorial V, un subconjunto S de V, que a su vez cumple las leyes de espacio vectorial es un subespacio vectorial.
Propiedades: Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial y 5 para el producto por escalares):
Nota: En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con una flecha encima; si no es así se trata de escalares.
• Para la suma de vectores 1 Cerradura
2 Conmutatividad
3 Asociatividad
4 Inverso Aditivo
5 Neutro Aditivo
• Para el Producto por Escalares 6 Cerradura
7 Distributiva 1
8
Distributiva 2
9 Asociativa
10
Aquí la suma entre escalares es la definida para el cuerpo de escalares; parece lioso pero la suma entre vectores puede ser construida con otras reglas muy diferentes a las de la suma entre escalares. Sin embargo, como ocurre con los vectores geométricos habituales y los números reales, una suma puede llevar a la otra o estar relacionadas.
