Derivada parcial
La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia , dejando a fija y otra según cambia , dejando a fija.
Suponga que dejamos variar sólo a , dejando a fija, digamos , en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber . Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.
Definición (derivada parcial) Sea una función de dos variables y sea , entonces la derivada parcial de con respecto a en es
siempre y cuando el límite exista.
De forma similar definimos la derivada parcial de con respecto a en por
Observación: los límites de la definición son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc.
De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a , obtenemos da
y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada ; esto nos puede llevar a la conclusión errónea de que la derivada parcial no existe.
Ahora usemos la definición.Por lo tanto la derivada parcial con respecto a existe y es .
Interpretación geométrica de la derivada parcial
Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .
Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto.
Observación : si es una función de dos variables e , entonces sus derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales y , las cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de Si.
La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.
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